Prześledź sposób rozwiązania nierówności $$ -x^4+10x^3+11x^2>0$$.
(1) Najpierw przepisujemy podaną nierówność do postaci: $$ \begin{gather} -x^2(x^2-10x-11)>0 \cr x^2(x^2-10x-11)<0 \end{gather} $$.
(2) Teraz potęgujemy trójmian w nawiasach: $$ \begin{gather} D =(-10)^2-4\cdot (-11) \cr x_1=\frac{10-\sqrt{144}}{2}=-1,x_2=\frac{10+\sqrt{144}}{2}=11 \cr x^2-10x-11=(x+1)(x-11) \end{gather} $$ (3) Na koniec przepisujemy nierówność jako iloczyn trzech czynników: $$ x^2(x+1)(x-11)<0 $$.
(4) Niech $P(x)=x^2(x+1)(x-11)$. Od razu zauważymy, że $P(x)=0$, gdy $x=-1$, $0$ i $11$. Te punkty zerowe dzielą linię liczbową na przedziały: $$ (- \infty;-1),~(-1;0),~(0;11),~(11;+\infty) $$ (5) Wiemy, że $P(x)$ zmienia znak za każdym razem, gdy $x$ przechodzi przez punkt zerowy. $P(x)>0$ w pierwszym przedziale $(- \infty;-1)$. Stąd możemy wnioskować, że zbiorem rozwiązań nierówności jest zbiór wszystkich $$x\in (-1;0)\cup (11;+\infty).$$. Czy w rozwiązaniu jest błąd, czy wszystko jest w porządku?
Rozwiązanie jest prawidłowe.
Błąd występuje w kroku (2). Trójmian musi zostać przekształcony w następujący sposób: $$ x^2-10x-11=(x-1)(x+11) $$
Błąd występuje w kroku (4). Wielomian $P(x)=x^2(x+1)(x-11)$ należy podzielić przez współczynnik kwadratowy $x^2$. W rezultacie otrzymamy przedziały: $(- \infty;-1)$, $(-1;11)$, $(11;+\infty)$.
Błąd występuje w kroku (5). Rozwiązanie nie jest poprawne.
Wielomian nie zawsze zmienia znak, gdy $x$ przechodzi przez punkt zerowy. Dokładnie tak jest w przypadku wielomianu $P(x)=x^2(x+1)(x-11)$. Zobacz tabelę:
| $x$ | $(- \infty;-1)$ | $(-1;0)$ | $(0;11)$ | $(11;+\infty)$ |
|---|---|---|---|---|
| $x^2$ | $+$ | $+$ | $+$ | $+$ |
| $x+1$ | $-$ | $+$ | $+$ | $+$ |
| $x-11$ | $-$ | $-$ | $-$ | $+$ |
| $P(x)$ | $\oplus$ | $\ominus$ | $\ominus$ | $\oplus$ |
Z tabeli wynika, że zbiorem rozwiązań nierówności jest zbiór wszystkich $$x\in (-1;0)\cup (0;11)$$.
Co ważne, wielomian $P(x)=x^2(x+1)(x-11)$ ma współczynnik kwadratowy $x^2$, co sprawia, że $x=0$ jest podwójnym pierwiastkiem $P(x)=0$. W takich przypadkach wielomian nie zmienia znaku, gdy $x$ przechodzi przez punkt zerowy.