Adam rozwiązał równanie $$ \bigl||x-3|-2\bigr|=1 $$ w następujący sposób:
(1) Wiedział, że $|x|^2=x^2$, więc postanowił wyeliminować wartość bezwzględną poprzez podniesienie obu stron równania do kwadratu: $$ \begin{align} (|x-3|-2)^2=1^2 \cr (x-3)^2-2\cdot 2(x-3)+4=1 \end{align} $$ (2) Następnie wykonał niezbędne operacje matematyczne, aby uprościć równanie: $$ \begin{align} x^2-6x+9-4x+12+4=1 \cr x^2-10x+24=0 \end{align} $$
(3) Rozwiązał otrzymane równanie kwadratowe: $$ \begin{align} x_{1,2}=\frac{-(-10) \pm \sqrt{(-10)^2-4 \cdot 1 \cdot 24}}{2\cdot 1} \cr x_1=\frac{10+\sqrt{4}}{2}=6, ~x_2=\frac{10−\sqrt{4}}{2}=4 \end{align} $$
(4) Na koniec sprawdził swoje rozwiązania w wyjściowym równaniu, aby upewnić się, że nie uzyskał żadnego złego rozwiązania: $$ \begin{align} x=6: L=\bigl||6-3|-2\bigr|=\bigl||3|-2\bigr|=|1|=1 \Rightarrow L=P \cr x=4: L=\bigl||4-3|-2\bigr|=\bigl||1|-2\bigr|=|-1|=1 \Rightarrow L=P \end{align} $$ Adam jest przekonany, że rozwiązał to równanie poprawnie, a jego rozwiązaniami są $x=6$ i $x=4$.
Oto kilka komentarzy na temat jego rozwiązania. Które z nich jest poprawne?
Komentarz 1. Popełnił błąd w kroku (1) w potęgowaniu.
Komentarz 2. Rozwiązanie Adama jest jak najbardziej w porządku. Sprawdzenie wyszło dobrze.
Komentarz 3. Popełnił błąd w kroku (2) podczas upraszczania równania.
Komentarz 4. Równania nie można rozwiązać przez potęgowanie.
$$ \begin{align} (|x-3|-2)^2=1^2 \cr (x-3)^2-2\cdot 2|x-3|+4=1 \end{align} $$ Ponieważ $|x-3|=x-3$ dla $x\geq 3$ i $|x-3|=-(x-3)$ dla $x<3$, otrzymujemy dwa różne uproszczone równania: $$ x^2-10x+24=0 \mathrm{~dla~} x\geq 3 \mathrm{~i~} x^2-2x=0 \mathrm{~dla~} x<3. $$ Drugie równanie ma pierwiastki $x=0$ i $x=2$, które są również rozwiązaniami oryginalnego równania. Zatem dane równanie ma cztery rozwiązania: $x=6$, $x=4$, $x=0$, $x=2$.