Znajdź kąt między prostymi $p$ i $q$, gdzie $$p\colon y=2x-1\mbox{ i }\ q\colon 3x+7y-4=0.$$.
Rozwiązanie Michaela:
(1) Ogólna postać równania prostej $p$ to $$2x-y-1=0.$$
(2) Wektory normalne obu prostych to: $$\overrightarrow{n}_p=(2;-1),\ \overrightarrow{n}_q=(3;7).$$
(3) Kąt między liniami $p$ i $q$ obliczamy ze wzoru $$\cos\varphi=\frac{\overrightarrow{n}_p\cdot\overrightarrow{n}_q}{|\overrightarrow{n}_p|\cdot|\overrightarrow{n}_q|}.$$.
(4) Po podstawieniu do wzoru otrzymujemy: $$\cos\varphi=\frac{2\cdot3+(-1)\cdot7}{\sqrt{2^2+(-1)^2}\cdot\sqrt{3^2+7^2}}=\frac{-1}{\sqrt{5}\cdot\sqrt{58}}=\frac{-1}{\sqrt{290}}.$$
(5) $\varphi=\arccos\left(\frac{-1}{\sqrt{290}}\right)\cong 93^\circ\, 22´$ (używając kalkulatora).
Rozwiązanie Michaela jest błędne. Gdzie Michael popełnił błąd w swoim rozwiązaniu?
Błąd tkwi w kroku (2). Wektory normalne obu linii to: $$\overrightarrow{n}_p=(1;2), \overrightarrow{n}_q=(7;-3).$$.
Błąd tkwi w kroku (3). Kąt pomiędzy prostymi $p$ i $q$ oblicza się ze wzoru $$\cos\varphi=\frac{|\overrightarrow{n}_p\cdot\overrightarrow{n}_q|}{|\overrightarrow{n}_p|\cdot|\overrightarrow{n}_q|}.$$
Błąd tkwi w kroku (4). Podstawiając otrzymujemy: $$\cos\varphi=\frac{2\cdot3+(-1)\cdot7}{|2^2+(-1)^2|\cdot|3^2+7^2|}=\frac{-1}{5\cdot58}=\frac{-1}{290}.$$
Błąd występuje w kroku (5). Wartość kąta jest nieprawidłowo obliczona na kalkulatorze. Prawidłowe rozwiązanie to: $\varphi\cong 3^\circ\, 22´$.
$$\begin{aligned} &\overrightarrow{n}_p=(2;-1)\mbox{,}\qquad\overrightarrow{n}_q=(3;7)\cr &\cos\varphi=\frac{|\overrightarrow{n}_p\cdot\overrightarrow{n}_q|}{|\overrightarrow{n}_p|\cdot|\overrightarrow{n}_q|}=\frac{|2\cdot3+(-1)\cdot7|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}\cdot\sqrt{3^2+7^2}}=\frac{|-1|}{\sqrt{5}\cdot\sqrt{58}}=\frac{1}{\sqrt{290}}\implies\varphi\cong86^\circ\, 38´\textrm{.} \end{aligned}$$