Załóżmy, że rzucamy jednocześnie 8 monetami. Jakie jest prawdopodobieństwo, że co najmniej dwie z nich wylądują orzełkiem?
Rozwiązanie Michaela:
(1) Wypadnięcie orła lub reszki na poszczególnych monetach jest zdarzeniem niezależnym.
(2) Prawdopodobieństwo wyrzucenia reszki przez monetę wynosi $\frac12$. Prawdopodobieństwo wyrzucenia orła również wynosi $\frac12$.
(3) Prawdopodobieństwo, że wszystkie osiem monet wyrzuci reszkę wynosi $P_0=\left(\frac12\right)^8\cong 0{,}0039$.
(4) Prawdopodobieństwo, że dokładnie jedna moneta wyrzuci orła wynosi $P_1=\left(\frac12\right)^8\cdot 8\cong 0{,}0313$.
(5) Prawdopodobieństwo, że dokładnie dwie monety wyrzucą orła wynosi $P_2=\left(\frac12\right)^8 \cdot {8\choose2}\cong 0{,}1094$.
(6) Prawdopodobieństwo, że co najmniej dwie monety wyrzucą orła wynosi $P=P_0+P_1+P_2\cong 0{,}1446$.
Rozwiązanie Michaela jest niepoprawne. Określ, jak powinno wyglądać poprawne rozwiązanie i wskaż krok, w którym Michael popełnił błąd.
Błąd tkwi w kroku (6). Prawdopodobieństwo, że co najmniej dwie monety wyrzucą orła wynosi $P=1-(P_0+P_1)\cong 0{,}9648$.
Błąd tkwi w kroku (3). Prawdopodobieństwo, że wszystkie osiem monet wyrzuci reszkę wynosi $P_0=8\cdot\left(\frac12\right)^8\cong0{,}0313$. Prawdopodobieństwo, że co najmniej dwie monety wyrzucą orła wynosi $P=P_0+P_1+P_2\cong0{,}1720$.
Błąd tkwi w kroku (6). Prawdopodobieństwo, że co najmniej dwie monety wyrzucą orła wynosi $P=1-(P_0+P_1+P_2)\cong0{,}8554$.
Błąd tkwi w kroku (5). Prawdopodobieństwo, że dokładnie dwie monety wyrzucą orła wynosi $P_2=2\cdot\left(\frac12\right)^8\cong 0{,}0078$. Prawdopodobieństwo, że co najmniej dwie monety wyrzucą orła wynosi $P=P_0+P_1+P_2\cong 0{,}0430$.