Anna, Kristina i Ulla rozwiązały następujące zadanie:
Ciąg $(a_n )$ dla każdego $n\in \mathbb{N}$ jest podany wzorem $a_n=\frac{5-3n}{7}$. Znajdź wszystkie wartości $x\in \mathbb{R}$ takie, aby $$ a_4,~x^2+2, ~a_{11} $$ były trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego i obliczyć iloraz $q$ tego ciągu.
Anna najpierw obliczyła:
$$ a_4=-1,~a_{11}=-4 $$ Jeśli chodzi o nią, to wiedziała, że jeśli liczby $a_4$, $x^2+2$, $a_{11}$ mają być kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego, to $$ x^2+2=\frac{a_{11}}{a_4} $$ a więc $$ x^2+2=4 $$ Następnie rozwiązała powyższe równanie i otrzymała: $$ x=\pm \sqrt{2} $$ Trzy kolejne wyrazy ciągu to $-1$, $4$, $-4$ i iloraz ciągu $q=4$.
Kristina pamiętała, że jeśli weźmiemy pod uwagę trzy kolejne wyrazy ciągu geometrycznego $a$, $b$, $c$, to $$ \frac{b}{a}=\frac{c}{b} $$ I $$ b^2=ac $$ Obliczyła warunki zewnętrzne: $$ a_4=-1,~a_{11}=-4 $$ postępowała w następujący sposób: $$ \begin{gather} (x^2+2)^2=4 \cr |x^2+2|=2 \cr x^2+2=\pm2 \end{gather} $$
Rozwiązując te dwa równania, otrzymano trzy wyniki: $$ x=0,x=2,x=-2 $$ Dla $x=0$ trzy kolejne wyrazy do $-1$, $2$, $-4$ i $q=-2$.
Dla $x=\pm 2$ trzy kolejne wyrazy do $-1$, $4$, $-4$ i $q=4$.
Ulla zstosowała, że dla wyrazu środkowego w ciągu geometrycznym musi wystąpić: $$ x^2+2=\frac{a_4+a_{11}}{2} $$ Obliczyła: $$a_4=-1,~a_{11}=-4 $$ stąd $$ \begin{gather} x^2+2=-\frac{5}{2} \cr x^2=-\frac{9}{2} \end{gather} $$
Na tej podstawie doszła do wniosku, że zadanie nie ma rozwiązań.
Który z nich poprawnie rozwiązał zadanie?
Żaden z nich
Anna
Kristina
Ulla
Sposób rozwiązania Kristiny był prawidłowy, ale popełniła błąd przy rozwiązywaniu równania $$ |x^2+2|=2 $$ Ponieważ $x^2+2>0$, powinna była kontynuować $$ x^2+2=2 $$ a więc $$ x=0 $$ Kolejne wyrazy ciągu geometrycznego to $-1$, $2$, $-4$ i $q=-2$.