Wyznacz pole trójkąta $ABC$. Podane są długości dwóch boków: $$|BC|=a=3\,\mathrm{cm}\ \mbox{ and }\ |AB|=c=2\,\mathrm{cm}$$ Podane są również miary dwóch kątów wewnętrznych: $$|\sphericalangle BAC|=\alpha= 44^\circ \ \mbox{ i }|\sphericalangle ABC| = \beta = 108{,}4^\circ$$ Zaokrąglij wynik (w $\mathrm{cm}^2$) z dokładnością do jednego miejsca po przecinku.
Josef użył podanych długości boków i kątów do obliczenia pola trójkąta za pomocą wzoru: $$S=\frac12\cdot a\cdot c\cdot \sin\beta$$ Jego obliczenia były następujące: $$S = \frac12\cdot 3\cdot 2\cdot \sin108{,}40^\circ \cong 2{,}8\,\mathrm{cm}^2$$ Tonda przyjął dłuższe podejście i dokonał obliczeń w następujących krokach:
- Obliczył brakujący kąt wewnętrzny: $$\gamma=180^\circ-\alpha+\beta)=180^\circ -(44^\circ+108{,}4^\circ)=27{,}6^\circ$$
- Korzystając z prawa sinusów, wyprowadził sposób obliczenia długości boku $|AC| = b$: $$\frac{b}{\sin\beta}=\frac{a}{\sin\alpha}\Rightarrow b=\frac{\sin\beta}{\sin\alpha}\cdot a$$
- Następnie obliczył pole trójkąta za pomocą wzoru: $$S=\frac12\cdot b\cdot c\cdot \sin\gamma=\frac12\cdot \frac{\sin\beta}{\sin\alpha}\cdot a\cdot c\cdot \sin\gamma$$
Zastępując znalezione wartości: $$S=\frac12\cdot\frac{\sin108{,}4^\circ}{\sin44^\circ}\cdot 3\cdot 2\cdot \sin27{,}6^\circ\approx 1{,}9\,\mathrm{cm}^2$$ Oczywiste jest, że co najmniej jeden uczeń popełnił błąd w obliczeniach. Kto popełnił błąd i w którym kroku?
Josef popełnił błąd. Użył nieprawidłowego wzoru na pole trójkąta.
Josef popełnił błąd. Użył poprawnego wzoru na pole powierzchni, ale popełnił błąd w obliczeniach, prawdopodobnie dlatego, że jego kalkulator był ustawiony na radiany zamiast stopni.
Tonda popełnił błąd w kroku (1). Popełnił błąd numeryczny podczas obliczania brakującego kąta.
Tonda popełnił błąd w kroku (2). Nieprawidłowo zastosował prawo sinusów do wyznaczenia długości boku $b$.
Tonda popełnił błąd w kroku (3). Użył nieprawidłowego wzoru na pole trójkąta. Prawidłowy wzór na pole trójkąta to połowa iloczynu długości dwóch boków trójkąta i sinusa ich kąta rozwartego.
Tonda popełnił błąd w kroku (3). Użył poprawnego wzoru na pole powierzchni, ale popełnił błąd w obliczeniach, prawdopodobnie dlatego, że jego kalkulator był ustawiony na radiany zamiast stopni.
Uwzględniony kąt boków $b$ and $c$ is the angle $\alpha$, w związku z tym: $$ S=\frac12\cdot b\cdot c\cdot \sin\alpha=\frac12\cdot \frac{\sin\beta}{\sin\alpha}\cdot a\cdot c\cdot \sin\alpha=\frac12\cdot a\cdot c\cdot \sin\beta.$$ Po podstawieniu wartości: $$S=\frac12\cdot 3\cdot 2\cdot \sin108{,}40^\circ \cong 2{,}8\,\mathrm{cm}^2.$$