Dany jest odcinek linii $AB$:
$$\left.\begin{aligned} x&= 7-3t\cr y&=-5+9t \end{aligned} \right\rbrace\ \mbox{dla } t\in\langle0;1\rangle$$ i półprosta $KL$: $$\left.\begin{aligned} x&=1-2r\cr y&=3+r\cr \end{aligned}\right\rbrace\ \mbox{dla } r\in\langle0;\infty).$$
Wyznaczyć ich przecięcie.
Charles rozwiązał ten problem w następujących krokach:.
(1) Założył, że punktem przecięcia jest punkt $P=[p_1; p_2]$. $$\begin{aligned}&P \in AB:\quad\begin{aligned} p_1&=7-3t\cr p_2&=-5+9t\end{aligned}\cr\cr &P\in\mapsto KL: \begin{aligned} p_1&=1-2r\cr p_2&=3+r \end{aligned}\end{aligned}$$
(2) Korzystając z metody porównawczej, utworzył układ równań: $$\begin{aligned} 7-3t&= 1-2r\cr -5+9t&= 3+r\end{aligned}$$
(3) Rozwiązał ten układ metodą podstawiania. W pierwszym kroku wyraził zmienną $r$ z drugiego równania: $r = 9t-8$
(4) Po podstawieniu zmiennej $r$ do pierwszego równania, rozwiązał równanie ze zmienną $t$:
$$\begin{alignat}2 7-3t&=1-2(9t-8)&&\cr 7-3t&=1-18t+16\quad&&\big/+ 18t-7\cr 15t &= 10\quad&&\big/ : 15\cr t &=\frac{10}{15}=\frac23 \end{alignat}$$
(5) Sprawdził, czy $t$ spełnia warunek i znalazł przecięcie. $$t\in \langle0;1\rangle \Rightarrow P=\left[7-3\cdot\frac23; -5+9\cdot\frac23\right]\Rightarrow P=[5; 1] $$
Czy rozwiązanie Charlesa jest poprawne? Jeśli nie, określ, gdzie Charles popełnił błąd.
Rozwiązanie Charlesa jest poprawne.
Błąd znajduje się w kroku (3). Charles nieprawidłowo wyraził zmienną $r$.
Błąd znajduje się w kroku (4). Charles nieprawidłowo rozwiązał równanie ze zmienną $t$, a zatem nieprawidłowo wyznaczył punkt przecięcia $P$.
Błąd znajduje się w kroku (5). Charles nie obliczył zmiennej $r$ i nie sprawdził warunków, jakie powinna ona spełniać.
Po obliczeniu zmiennej $r$ ($r = 9\cdot\frac23-8 = -2$) stwierdzamy, że $r\notin \langle0;\infty)$, a zatem odcinek linii $AB$ i półprosta $KL$ nie przecinają się.