A los estudiantes se les planteó el siguiente problema:
El nivel de intensidad sonora (volumen) $y$ se mide en una escala logarítmica utilizando la unidad decibelio ($\mathrm{dB}$), y se expresa mediante la fórmula: $$ y=10\log\frac{x}{x_0} $$ donde $x$ es la intensidad del sonido (medida en $W\cdot m^{-2}$) y $x_0$ es la intensidad del sonido más débil que puede detectar el oído humano ($x_0=10^{-12}\, W\cdot m^{-2}$).
Durante el lavado, el nivel de ruido de una lavadora es de unos $50$ decibelios, pero puede aumentar hasta los $75$ decibelios durante el centrifugado.
¿Cuántas veces más intenso es el sonido de la lavadora durante el centrifugado en comparación con la intensidad del sonido durante el lavado?
Alice: Esta pregunta es muy fácil. El sonido durante el giro es $1.5$ veces más intenso porque: $$ \frac{75}{50}=\frac32=1.5 $$
Bob: Para resolver la tarea, debemos sustituir los valores en la fórmula dada: $$ \frac{y_2}{y_1}=\frac{10\log\frac{75}{x_0}}{10\log\frac{50}{x_0}} $$ A continuación, anulamos los $10$ en el numerador y denominador y utilizamos la regla de que el cociente de logaritmos es igual a la diferencia de logaritmos. Para $x_0$, sustituimos $1$: $$ \frac{y_2}{y_1}=\frac{10\log\frac{75}{x_0}}{10\log\frac{50}{x_0}}=\log 75- \log 50=0.176 $$
Por lo tanto, el sonido durante el centrifugado es aproximadamente un $18\%$ más intenso que el sonido durante el lavado.
Cecilia: Para resolver la tarea, sustituimos en la fórmula dada: $$ \frac{y_2}{y_1}=\frac{10\log\frac{75}{x_0}}{10\log\frac{50}{x_0}} $$ Cancelamos los $10$ y sustituimos $x_0=1$: $$ \frac{y_2}{y_1}=\frac{10\log\frac{75}{x_0}}{10\log\frac{50}{x_0}}=\frac{\log75}{\log50}=1.104 $$ Así, el sonido durante el centrifugado es aproximadamente un $110\%$ más intenso que durante el lavado. Esto significa que el sonido es más del doble de fuerte
David: Tenemos que sustituir en la fórmula dada, donde $y$ representa el nivel sonoro en decibelios: $$ \begin{aligned} 50=10\log\frac{x_1}{x_0} \cr 5=\log\frac{x_1}{x_0} \cr 10^5=\frac{x_1}{x_0} \cr x_1=10^5\cdot x_0 \end{aligned} $$ Y del mismo modo: $$ x_2=10^{7.5}\cdot x_0 $$ Por lo tanto: $$ \frac{x_2}{x_1}=\frac{10^{7.5}\cdot x_0}{10^{5}\cdot x_0}=\frac{10^{7.5}}{10^5}=10^{2.5} \doteq 316 $$
Así, el sonido durante el centrifugado es aproximadamente $316$ veces más intenso que durante el lavado.
¿Qué alumno ha resuelto correctamente el problema?
Alice
Bob
Cecilia
David
Ninguno
He aquí una breve explicación de la diferencia entre intensidad sonora y volumen:
La intensidad del sonido es una magnitud física que describe cuánta energía transfiere una onda sonora a través de una unidad de superficie cada segundo. Se mide en vatios por metro cuadrado ($\mathrm{W}/{m}^2$) y depende únicamente de la fuente y la distancia, no de cómo percibimos el sonido.
Para relacionar la intensidad con la forma en que oímos el sonido, utilizamos el nivel de intensidad sonora (el volumen), medido en decibelios ($\mathrm{dB}$). Esta escala logarítmica comprime una amplia gama de intensidades en números manejables y refleja mejor cómo percibimos las diferencias de volumen.