A Pedro, Ana y Elis se les asignó la tarea de hallar el rango de la función: $$ f(x) = x^2 - 2x - 3 $$ con el dominio restringido $D(f) = [ 0, 4]$.
En primer lugar, los tres estudiantes calcularon los valores de la función en los extremos del dominio y descubrieron que $f(0) = -3$ y $f(4) = 5$. A continuación, procedieron de forma diferente:
Peter: Basándose en los valores calculados en los puntos extremos, afirmó que el rango de la función era: $$H(f) = [ -3, 5]$$
Anne: Afirmó que el rango no puede determinarse únicamente a partir de los valores de la función en los puntos finales del dominio, sino que es necesario calcular los valores en otros puntos dentro del dominio, concretamente en $x= 1$, $2$, y $3$. Calculando estos valores, obtuvo: $$ f(1) = -4,~f(2) = -3,~f(3) = 0. $$ Como el valor más pequeño que obtuvo fue $-4$, Ana afirmó que el intervalo era: $$ H(f) = [ -4, 5] $$
Elis: Reescribió la función $f$ de la siguiente manera: $$ f(x) = x^2 - 2x - 3 = (x^2 - 2x + 1) - 4 = (x - 1)^2 - 4 $$ Se dio cuenta de que la expresión $(x - 1)^2$ alcanza su valor mínimo en $x=1$ en el intervalo $[ 0, 4]$, porque esta expresión es no-negativa para todo $x$, e igual a cero en $x = 1$. Esta expresión alcanza su máximo en $x=4$ (valor $9$) en el intervalo $[ 0, 4]$. Como $f(1) = -4$ y $f(4) = 5$, Elis concluyó que el intervalo era: $$ H(f) = [ -4, 5] $$
Monica: A Mónica le gustó cómo Elis había reformulado la función, pero su razonamiento posterior fue diferente. Dijo que el rango de la función podía determinarse a partir de su gráfica. La gráfica de esta función cuadrática es una parábola, y como el coeficiente del término cuadrático es positivo, la parábola se abre hacia arriba. Los extremos pueden estar en el vértice de la parábola o en los extremos del dominio $D(f) = [ 0, 4]$. A partir de la ecuación: $$ f(x) = (x - 1)^2 - 4 $$ está claro que el vértice está en $x=1$. Por lo tanto, hay tres puntos críticos para comprobar: $$ x = 0,~x = 4~\mathrm{y}~ x = 1. $$ Monica calculó $$ f(0) = -3,~f(4) = 5~\mathrm{y}~f(1) = -4. $$ A partir de estos cálculos, el valor mínimo es $-4$ y el valor máximo es $5$. Por lo tanto el rango es: $$ H(f) = [ -4, 5] $$ ¿Quién resolvió el problema correctamente?
Elis y Monica
Sólo Elis
Sólo Peter
Sólo Anne
Sólo Monica
Nadie
Para determinar el rango de una función cuadrática con un dominio restringido, no basta con hallar los valores de la función en los puntos extremos del dominio (enfoque de Peter). A pesar de obtener el resultado correcto, el error de Ana fue que sólo examinó los valores en los puntos enteros del dominio. Su procedimiento es incorrecto, y sólo tuvo suerte de obtener el resultado correcto.