Determina el área del triángulo $ABC$. Se dan las longitudes de dos lados: $$|BC|=a=3\,\mathrm{cm}\ \mbox{ and }\ |AB|=c=2\,\mathrm{cm}$$ También se dan las medidas de dos ángulos interiores: $$|\sphericalangle BAC|=\alpha= 44^\circ \ \mbox{ and }|\sphericalangle ABC| = \beta = 108.4^\circ$$ Redondea el resultado (en $\mathrm{cm}^2$) a un decimal.
José ha utilizado las longitudes de los lados y los ángulos dados para calcular el área del triángulo utilizando la fórmula: $$S=\frac12\cdot a\cdot c\cdot \sin\beta$$ Su cálculo fue: $$S = \frac12\cdot 3\cdot 2\cdot \sin108.40^\circ \cong 2.8\,\mathrm{cm}^2$$ Toni adoptó un enfoque más largo y calculó en los siguientes pasos:
- Calculó el ángulo interior que faltaba: $$\gamma=180^\circ-(\alpha+\beta)=180^\circ -(44^\circ+108.4^\circ)=27.6^\circ$$
- Utilizando la Ley de los Senos, dedujo cómo calcular la longitud del lado $|AC| = b$: $$\frac{b}{\sin\beta}=\frac{a}{\sin\alpha}\Rightarrow b=\frac{\sin\beta}{\sin\alpha}\cdot a$$
- A continuación, calculó el área del triángulo mediante la fórmula: $$S=\frac12\cdot b\cdot c\cdot \sin\gamma=\frac12\cdot \frac{\sin\beta}{\sin\alpha}\cdot a\cdot c\cdot \sin\gamma$$
Sustituyendo los valores que encontró: $$S=\frac12\cdot\frac{\sin108.4^\circ}{\sin44^\circ}\cdot 3\cdot 2\cdot \sin27.6^\circ\approx 1.9\,\mathrm{cm}^2$$ Está claro que al menos un alumno cometió un error de cálculo. ¿Quién cometió el error y en qué paso?
José cometió un error. Utilizó una fórmula incorrecta para calcular el área del triángulo.
José cometió un error. Utilizó la fórmula correcta para el área, pero cometió un error de cálculo, posiblemente debido a que su calculadora estaba ajustada a radianes en lugar de a grados.
Toni cometió un error en el paso (1). Cometió un error numérico al calcular el ángulo que faltaba.
Toni cometió un error en el paso (2). Aplicó incorrectamente la ley de los senos para determinar la longitud del lado $b$.
Toni cometió un error en el paso (3). Utilizó una fórmula incorrecta para calcular el área de un triángulo. La fórmula correcta para el área es la mitad del producto de las longitudes de dos lados del triángulo y el seno de su ángulo incluido.
Toni cometió un error en el paso (3). Utilizó la fórmula correcta para el área, pero cometió un error de cálculo, posiblemente debido a que su calculadora estaba ajustada a radianes en lugar de a grados.
El ángulo incluido de lados $b$ y $c$ es el ángulo $\alpha$, por lo tanto: $$ S=\frac12\cdot b\cdot c\cdot \sin\alpha=\frac12\cdot \frac{\sin\beta}{\sin\alpha}\cdot a\cdot c\cdot \sin\alpha=\frac12\cdot a\cdot c\cdot \sin\beta.$$ Tras sustituir los valores: $$S=\frac12\cdot 3\cdot 2\cdot \sin108.40^\circ \cong 2.8\,\mathrm{cm}^2.$$