Dada la función cuadrática $f(x) = x^2 − 2x$, halla el número real $k$ para el que se cumpla la ecuación $$ f(3) = k\cdot f\left(\frac13\right) $$
Charles resolvió la tarea de la siguiente manera:
1) En primer lugar, calculó el valor de la función en $x=3$: $$ f(3) = 3^2 − 2\cdot 3 = 9 − 6 = 3 $$
2) Del mismo modo, calculó el valor de la función en $x=\frac13$: $$ f\left(\frac13\right) = \left(\frac13\right)^2− 2\cdot \frac13 = \frac19 − \frac23 = \frac19 − \frac49 = − \frac39 = − \frac13 $$
3) Después, sustituyó los valores calculados en la ecuación dada: $$ f(3) = k\cdot f\left(\frac13\right) $$ y obtuvo: $$ 3 = k\cdot \left(− \frac13\right) $$
4) La solución a esta ecuación es: $$ k = −9 $$
¿Es correcta la solución de Charles? En caso negativo, identifica el error.
No. Hay un error en el paso (1). Hay un error numérico.
No. Hay un error en el paso (2). Hay un error numérico.
No. Hay un error en el paso (3). Debería haber sido: $$ 3 = k − \frac13 $$
No. Hay un error en el paso (4). La solución correcta de la ecuación debería ser: $$ k = − \frac19 $$
Sí. No hay ningún error.
Hay un error numérico en el paso (2). El cálculo correcto sería: $$ f\left(\frac13\right) = \left(\frac13\right)^2− 2\cdot \frac13 = \frac19 − \frac23 = \frac19 − \frac69 = − \frac59 $$
Sustituyendo en la ecuación dada, obtenemos: $$ \begin{gather} f(3) = k\cdot f\left(\frac13\right) \cr 3 = k\cdot \left(− \frac59\right) \cr k = − \frac{27}{5} \end{gather} $$