A George se le encargó resolver la ecuación $$4\cdot\cos\left(\frac52x+\frac{\pi}{8}\right)=-\sqrt8$$ para valores reales de $x$. Veamos su solución:
(1) Después de dividir la ecuación por $4$ y simplificar el miembro derecho de la ecuación, obtuvo: $$\cos\left(\frac52x+\frac{\pi}{8}\right)=-\frac{\sqrt2}{2}$$
(2) Aplicando la sustitución $\left(\frac52x+\frac{\pi}{8}\right)=a$, transformó la ecuación en: $$\cosa=-\frac{\sqrt2}{2}$$
(3) George resolvió la ecuación trigonométrica anterior para la incógnita $a$ y halló las soluciones:: $$a_1=\frac34\pi+k\cdot2\pi,\quad a_2=\frac54\pi+k\cdot2\pi,$$ donde $k\in\mathbb{Z}$.
(4) A continuación, volvió a introducir estos valores de $a$ en la sustitución y obtuvo dos ecuaciones lineales para $x$: $$\frac52x_1+\frac{\pi}{8}=\frac34\pi,\quad\frac52x_2+\frac{\pi}{8}=\frac54\pi$$
(5) Finalmente, expresó $x_1$ y $x_2$ a partir de las ecuaciones anteriores: $$x_1=\frac14\pi+k\cdot2\pi,\quad x_2=\frac{9}{20}\pi+k\cdot2\pi,$$ donde $k\in\mathbb{Z}$.
Sin embargo, George cometió un error en uno de sus pasos. Señala este paso.
El error está en el paso (1). Cometió un error al simplificar el miembro derecho de la ecuación. La ecuación debería haberse simplificado a: $$\cos\left(\frac52x+\frac{\pi}{8}\right)=-\frac{\sqrt2}{8}$$
El error está en el paso (2). La sustitución debería haber sido $\frac52x=a$. La ecuación correcta para $a$ sería entonces: $$\cos a=-\frac{\sqrt2}{2}-\frac{\pi}{8}$$
El error está en el paso (3). No es necesario expresar dos soluciones (utilizando el punto). La solución correcta de la ecuación sustituida sería: $$a=\frac34\pi+k\cdot2\pi,\quad\mbox{donde}\ k\in\mathbb{Z}$$
El error está en el paso (4). Es necesario sustituir las soluciones enteras para $a$, incluyendo los múltiplos del período, de nuevo en la sustitución. Entonces, el período más pequeño para $x$ debería ser $\frac45\pi$.
El error está en el paso (5). La variable incógnita $x$ se expresó incorrectamente a partir de ambas ecuaciones. George debería haber obtenido: $$x_1=\frac{25}{16}\pi+k\cdot\frac15\pi,\quad x_2=\frac{45}{16}\pi+k\cdot\frac15 \pi,\quad k\in\mathbb{Z}$$
En los pasos (1)-(3), George procedió correctamente. Obtuvo: $$a_1=\frac34\pi+k\cdot2\pi,\quad a_2=\frac54\pi+k\cdot2\pi,$$ donde $k\in\mathbb{Z}$. A continuación, debemos sustituir estos valores (incluido el punto) de nuevo en la sustitución: $$\frac52x_1+\frac{\pi}{8}=\frac34\pi+k\cdot2\pi,\quad\frac52x_2+\frac{\pi}{8}=\frac54\pi+k\cdot2\pi$$ Entonces, resolvemos para $x$ a partir de estas ecuaciones lineales, y las soluciones a la ecuación inicial dada son: $$x_1=\frac14\pi+k\cdot\frac45\pi,\quad x_2=\frac{9}{20}\pi+k\cdot\frac45\pi,$$ donde $k\in\mathbb{Z}$.