A los estudiantes Alicia, Roberto, Cristina y David se les encargó calcular la integral indefinida: $$\int \frac{2x}{x^2+1} \mathrm{d}x$$
La resolvieron de las siguientes maneras:
Alicia recordó que si integramos una función de la forma $\frac{g'}{g}$ (una fracción donde el numerador es la derivada del denominador), la integral era igual a $\ln|g|+c$. Luego concluyó: $$ \int \frac{2x}{x^2+1} \mathrm{d}x=\ln|x^2+1|+c,c\in\mathbb{R}. $$
Roberto se dio cuenta de que se trataba de la integral del cociente de dos funciones. Integró el numerador y el denominador por separado y obtuvo: $$ \int \frac{2x}{x^2+1} \mathrm{d}x=\frac{x^2}{\frac{x^3}{3}+x}+c, c\in\mathbb{R}. $$
Cristina decidió aplicar la sustitución $x^2+1=t$. Determinó la relación entre diferenciales $2x\mathrm{d}x=\mathrm{d}t$ y utilizó la sustitución para resolver la integral: $$ \int \frac{2x}{x^2+1} \mathrm{d}x=\int \frac{\mathrm{d}t}{t}=\ln|t|+c=\ln|x^2+1|+c,c\in\mathbb{R}. $$
David modificó la expresión de la integral por la suma de dos fracciones que integró por separado: $$ \int \frac{2x}{x^2+1} \mathrm{d}x=\int \left(\frac{2x}{x^2} +\frac{2x}{1}\right) \mathrm{d}x=\int \left(\frac{2}{x}+2x\right)\mathrm{d}x=2 \ln|x|+x^2+c, c\in\mathbb{R}. $$
¿Quién de los alumnos solucionó correctamente la integral? Considera el cálculo completo, no sólo el resultado.
Alicia y Cristina
Solo Alicia
Solo Roberto
Solo Cristina
Solo David
Nadie
Cristina y Alicia utilizaron un procedimiento equivalente para resolver la integral. Ambas hicieron el cálculo correcto y obtuvieron el resultado correcto, válido en el intervalo $(-\infty,+\infty)$. Tanto David como Roberto cometieron errores fundamentales. Roberto no se dio cuenta de que la integral del cociente de dos funciones no era igual al cociente de las dos integrales correspondientes. David realizó una modificación incorrecta. La ecuación $\frac{2x}{x^2+1}=\frac{2x}{x^2} +\frac{2x}{1}$ no es cierta en general.