A Robert se le encargó resolver una sencilla ecuación exponencial: $$ \frac13(108−3^x)=3^x $$
Resolvió la ecuación en los siguientes pasos:
1) Empezó simplificando el lado izquierdo de la ecuación: $$ 36−3^x=3^x $$
2) A continuación, sumó $3^x$ a ambos lados de la ecuación y combinó los términos del lado derecho: $$ \begin{aligned} 36 & =3^x+3^x \cr 36 & =2 \cdot 3^x \end{aligned} $$
3) Por último, expresó los términos de ambos lados de la ecuación como potencias de la misma base y comparó los exponentes para obtener la solución: $$ \begin{aligned} 36 & =6^x \cr 6^2 & =6^x \cr x & =2 \end{aligned} $$ ¿Ha cometido Robert algún error? En caso afirmativo, señala dónde.
Sí. Cometió errores en los pasos (1) y (3).
Sí. Cometió errores en los pasos (1) y (2).
Sí. Cometió errores en los pasos (2) y (3).
Sí. Cometió un error sólo en el paso (1).
Sí. Cometió un error sólo en el paso (3).
No. Todos los pasos son correctos.
Veamos la solución correcta de la ecuación: $$ \frac13(108-3^x)=3^x $$ Tras multiplicar ambos lados por $3$, obtenemos: $$ 108-3^x=3 \cdot 3^x $$ Entonces, podemos sumar $3^x$ a ambos lados de la ecuación y combinar los términos semejantes en el lado derecho: $$ \begin{aligned} 108 & =3 \cdot 3^x+3^x \cr 108 & =4 \cdot 3^x \end{aligned} $$ A continuación, dividiendo ambos lados por $4$, obtenemos: $$ 3^x=27 $$ Por último, expresando $27$ as $3^3$ obtenemos la ecuación exponencial con la misma base en ambos lados, y la solución se obtiene comparando los exponentes. $$ \begin{aligned} 3^x & =3^3 \cr x & =3 \end{aligned} $$ Nota: El alumno cometió el primer error en el paso (1) al calcular incorrectamente el paréntesis. Multiplicó por $\frac13$ sólo el primer término del paréntesis. El segundo error lo cometió en el paso (3). La igualdad $2\cdot 3^x=6^x$ no tiene por qué ser cierta.