Circunferencia

Determina las coordenadas del centro de la circunferencia $k$ que pasa por los puntos $A=[4; 5]$, $B=[2; 1]$ y $C=[-1; 0]$.

Tom resolvió este problema mediante los siguientes pasos:

(1) Sustituyó las coordenadas de los puntos dados en la ecuación general de la circunferencia $k$: La ecuación general de la circunferencia $k$ es $x^2 + y^2 + ax + by + c = 0$, donde $a$, $b$, $c$ son constantes y $[x; y]$ es un punto arbitrario de la circunferencia. \begin{aligned} A\in k: \ \qquad\quad 4^2 + 5^2 + a\cdot4 + b\cdot5 + c &= 0\cr B\in k: \ \qquad \quad 2^2 + 1^2 + a\cdot2 + b\cdot1 + c &= 0\cr C\in k:\, (-1)^2 + 0^2 + a\cdot(-1) + b\cdot0 + c &= 0 \end{aligned}

(2) Después de simplificar cada una de las ecuaciones, escribió el sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas $a$, $b$ y $c$, y calculó la solución del sistema: \begin{aligned} 41 + 4a + 5b + c &= 0\cr 5 + 2a + b + c &= 0\cr 1 - a + c &= 0\cr\hline \end{aligned}

A partir de la tercera ecuación, Tom despejó $a = 1 + c$ y lo sustituyó en las otras ecuaciones, que luego simplificó. \begin{aligned} 41 + 4\cdot(1 + c) + 5b + c &= 0\cr 5 + 2\cdot(1 + c) + b + c &= 0\cr\hline \end{aligned} \begin{aligned} 45 + 5b + 5c &= 0\cr 7 + b + 3c &= 0\cr\hline \end{aligned} Luego, usando la segunda ecuación, Tom despejó $b = -7 - 3c$ y después lo sustituyó en la primera ecuación, donde calculó el valor de $c$. \begin{aligned} 45 + 5\cdot(-7 - 3c) + 5c &= 0\cr 10 - 10c &= 0\cr c &= 1 \end{aligned}

Para terminar, Tom sustituyó el valor de $c$ en las ecuaciones de $a$ y $b$. \begin{aligned} a &= 1+c = 1 + 1 = 2\cr b &= -7-3c =-7-3\cdot1 =-10\cr \end{aligned}

(3) Escribió con los valores obtenidos la ecuación general de la circunferencia $k$: $$x^2 + y^2 + 2x - 10y + 1 = 0$$ y la transformó en la forma estándar: \begin{aligned} x^2 + 2x + y^2 - 10y + 1 &= 0 \cr \color{red}x^2 + 2x + 1\color{black} - 1 + \color{blue}y^2 - 10y + 25\color{black} - 25 + 1 &= 0\cr \color{red}(x + 1)^2\color{black} + \color{blue}(y - 5)^2\color{black} - 25 &= 0\quad / + 25\cr (x + 1)^2 + (y - 5)^2 &= 25\cr \end{aligned}

(4) Después, usó la ecuación estándar para determinar las coordenadas del centro de la circunferencia $k$: $$S = [1; -5]$$

¿Es correcta la solución de Tom? En caso negativo, determina dónde cometió algún error.