Parábola

La parábola $P$ pasa por los puntos $K=[4; 5]$, $L=[2; 1]$ y $M=[-1; 0]$ y su eje de simetría es paralelo al eje $x$. Determina la distancia entre el foco y el vértice de la parábola.

David resolvió este problema mediante los siguientes pasos:

(1) En primer lugar, escribió la ecuación de la parábola en su forma estándar. El eje de la parábola $P$ es paralelo al eje $x$, de modo que su forma estándar es: $$P:(y - v_2)^2 = 2p(x - v_1),$$ donde $[v_1; v_2]$ son las coordenadas del vértice y $|2p|$ es la distancia del foco $F$ a la directriz de la parábola $P$, i.e. $$|VF|=|p|$$

(2) A continuación, David utilizó la información de que la parábola pasa por los puntos $K=[4; 5]$, $L=[2; 1]$ y $M=[-1; 0]$:

\begin{aligned} K \in P:\quad (5 - v_2)^2 &= 2p(4 - v_1)\cr L \in P:\quad (1 - v_2)^2 &= 2p(2 - v_1)\cr M \in P:\quad (0 - v_2)^2 &= 2p(-1 - v_1) \end{aligned}

(3) Resolviendo el anterior sistema de tres ecuaciones con tres variables, David determinó el valor de $p$. Al principio, calculó los paréntesis en cada una de las ecuaciones: \begin{aligned} 25 - 10v_2 + v_2^2 &= 8p - 2pv_1\cr 1 - 2v_2 + v_2^2 &= 4p - 2pv_1\cr v_2^2 &= -2p - 2pv_1\cr\hline \end{aligned}

Luego, sustituyó el valor de $v_2^2$ obtenido de la tercera ecuación, en las dos primeras ecuaciones: \begin{aligned} 25 - 10v_2 - 2p - 2pv_1 = 8p - 2pv_1\cr 1 - 2v_2 - 2p - 2pv_1 = 4p - 2pv_1\cr\hline \end{aligned}

Posteriormente, añadió la expresión $2pv_1 + 2p$ a ambos lados de las ecuaciones:

\begin{aligned} 25 - 10v_2 &= 10p\cr 1 - 2v_2 &= 6p\cr\hline \end{aligned}

Luego, dividió la primera ecuación por $-5$:

\begin{aligned} -5 + 2v_2 &= -2p\cr 1 - 2v_2 &= 6p\cr\hline \end{aligned}

Por último, sumando las dos ecuaciones, calculó el valor de $p$. $$-4 = 4p\ \Rightarrow \ p = -1$$

(4) David concluyó que $|VF|=|p|=|-1|=1$.

¿Es correcta la solución de David? Si no es así, determina en qué se equivocó David.