Progresión geométrica y aritmética II

Pedro y Pablo tuvieron que resolver la siguiente tarea:

Una sucesión $(a_n )$ se define por recurrencia como: $$ \begin{align} a_1&=2 \cr a_n&=3(n-1)-a_{n-1}+3,~n\geq 2 \end{align} $$

Encuentra enteros $x$, $y$ tales que $a_7$, $a_2+x$, $a_4+2y$ sean tres términos consecutivos de una progresión aritmética, y $a_1$, $4x-a_2$, $3a_6-y$ sean tres términos consecutivos de una progresión geométrica.

Ambos calcularon los siguientes seis términos de la sucesión: $$ \begin{align} a_2&=3-a_1+3=4 \cr a_3&=6-a_2+3=5\cr a_4&=9-a_3+3=7\cr a_5&=12-a_4+3=8\cr a_6&=15-a_5+3=10\cr a_7&=18-a_6+3=11 \end{align} $$

Pedro continuó de esta manera: Si $a_7$, $a_2+x$, $a_4+2y$ son tres términos consecutivos de una progresión aritmética, entonces la diferencia entre dos términos consecutivos cualesquiera es siempre la misma, y si $a_1$, $4x-a_2$, $3a_6-y$ son tres términos consecutivos de una progresión geométrica, entonces el término medio puede calcularse en términos de los dos términos extremos: $$ \begin{align} (4+x)-11&=(7+2y)-(4+x)\cr (4x-4)^2&=2(30-y)
\end{align} $$ Expresó $x$ a partir de la primera ecuación: $$ \begin{align} 2x&=10+2y \cr x&=5+y \end{align} $$ y la sustituyó en la segunda ecuación: $$ \begin{align} (4y+16)^2&=60-2y \cr 16y^2+130y+196&=0 \cr 8y^2+65y+98&=0 \end{align} $$ Finalmente, resolvió la ecuación cuadrática que obtuvo: $$ \begin{align} y_{1,2}&=\frac{-65 \pm \sqrt{65^2-4 \cdot 8 \cdot 98}}{16} \cr y_{1,2}&=\frac{-65 \pm \sqrt{4225-3136}}{16}\cr y_{1,2}&=\frac{-65 \pm \sqrt{1089}}{16}\cr y_{1,2}&=\frac{-65 \pm 33}{16}\cr y_1&=-2,y_2=-\frac{49}{8} \end{align} $$ Ahora sólo quedaba calcular $x$: $$ x_1=3,~x_2=-\frac98 $$ Obtuvo así dos soluciones: $x_1=3$, $y_1=-2$ and $x_2=-\frac98$, $y_2=-\frac{49}{8}$.

Pablo razonó de esta manera: Si $a_7$, $a_2+x$, $a_4+2y$ son tres términos consecutivos de una progresión aritmética, entonces el término medio es una media aritmética de los dos términos extremos, y si $a_1$, $4x-a_2$, $3a_6-y$ son tres términos consecutivos de una progresión geométrica, entonces la razón común es la misma para dos términos consecutivos cualesquiera: $$ \begin{align} 4+x&=\frac12 (11+(7+2y)) \cr \frac{4x-4}2&=\frac{30-y}{4x-4} \end{align} $$

Expresó $y$ a partir de la segunda ecuación: $$ \begin{align} (4x-4)^2&=60-2y \cr 16x^2-32x+16&=60-2y \cr y&=-8x^2+16x+22 \end{align} $$ y lo sustituyó en la primera ecuación, obteniendo: $$ \begin{align} 8+2x&=11+7-16x^2+32x+44 \cr 16x^2-30x-54&=0 \cr 8x^2-15x-27&=0 \end{align} $$ A continuación, resolvió la ecuación anterior: $$ \begin{align} x_{1,2}&=\frac{-15 \pm \sqrt{225-4 \cdot 8 \cdot (-27) }}{16} \cr x_{1,2}&=\frac{-15 \pm \sqrt{225+864}}{16}\cr x_{1,2}&=\frac{-15 \pm \sqrt{1089}}{16}\cr x_{1,2}&=\frac{-15 \pm 33}{16}\cr x_1&=-3,~x_2= \frac98 \end{align} $$

Por último, determinó la incógnita restante $y$: $$ \begin{align} y_1&=-8 \cdot 9-48+22=-98 \cr y_2&=-8 \cdot \frac{81}{64}+16 \cdot \frac{9}{8}+22=\frac{239}{8} \end{align} $$

Según él, el ejercicio tiene una solución, y es $x=-3$, $y=-98$.

¿Cuál de ellos procedió correctamente en la solución?