Tomás y Pedro solucionaron la siguiente tarea:
En un triángulo rectángulo $ABC$, $|BC|=3$, y $|AC|=4$. En la hipotenusa $AB$ hay un punto $D$, y la medida del ángulo $ACD$ es $60^{\circ}$. Calcula la longitud del segmento de recta $CD$.
Tomás presentó la solución:
(1) Dibujó un triángulo rectángulo.
(2) Expresó el área del triángulo $ABC$ en función de $x$, donde $x=|CD|$: $$ \begin{gather} P_{ABC}=P_{ACD}+P_{BCD} \cr \frac12 \cdot 3 \cdot 4=\frac12 \cdot 4 \cdot x \cdot \sin\,60^{\circ}+ \frac12 \cdot 3 \cdot x \cdot \sin\,30^{\circ} \end{gather} $$ (3) A partir de ahí calculó $x$: $$ \begin{gather} 6=2x \cdot \frac{\sqrt3}{2}+ \frac32 x \frac12 ~~~ /\cdot 4 \cr 24=4\sqrt3 x+3x \cr 24=x(4\sqrt3+3) ~~~/\cdot(4\sqrt3-3) \cr 24(4\sqrt3-3)=39x \cr x=\frac{32\sqrt3-24}{13} \end{gather} $$
Pedro presentó la solución:
(1) Dibujó un triángulo rectángulo.
(2) Utilizó el teorema de Pitágoras para hallar la longitud de la hipotenusa $AB$: $$ |AB|=\sqrt{3^2+4^2}=5 $$
(3) Luego expresó: $$ \sin \alpha =\frac35,~\cos \alpha =\frac45 $$ (4) Por último, utilizó la Regla del Seno para determinar $x$: $$ \begin{gather} \frac{x}{\sin \alpha}=\frac{4}{\sin(120^{\circ}-\alpha)} \cr \frac53 x=\frac{4}{\sin 120^{\circ}\cos \alpha -\cos 120^{\circ}\sin \alpha} \cr \frac53 x=\frac{4}{\frac{\sqrt3}{2} \cdot \frac45+ \frac12 \cdot \frac35} / \cdot 3 \cr 5x=\frac{120}{4\sqrt3+3} \cr x=\frac{24}{4\sqrt3+3} \end{gather} $$ Sus compañeros comentaron sus soluciones. ¿Qué comentario es el correcto?
Tanto Tomás como Pedro demostraron una solución correcta.
La solución de Pedro es correcta. Tomás cometió un error en el paso (2). Debería haber sido: $$ 6=2x \cdot \frac12+\frac32 x \frac{\sqrt3}{2} $$
La solución de Tomás es correcta. Pedro cometió un error en el paso (4). Debería haber sido: $$ \frac53 x=\frac{4}{\frac{\sqrt3}{2} \cdot \frac45-\frac12 \cdot \frac35} $$
Ninguno de ellos mostró una solución correcta.
$$ \frac{24}{4\sqrt3+3} \cdot \frac{4 \sqrt3-3}{4\sqrt3-3}=\frac{32\sqrt3-24}{13} $$
