Razón común

Paul, Mike y Kate resolvieron la siguiente tarea:

Determina la razón común de una progresión geométrica convergente infinita en la que el primer término es igual a $6$ y la suma de todos sus términos es la octava parte de la suma de los cuadrados de todos estos términos.

Los tres conocían la fórmula para la suma de una serie geométrica convergente infinita con primer término $a_1$ y razón común $q$: $$ S=\frac{a_1}{1-q} $$

Paul razonó de la siguiente manera: Para la suma de los cuadrados de todos los términos de la progresión dada, debe cumplirse: $$ S_{\square}=\frac{36}{1-q^2 } $$ De acuerdo con la tarea, se debería cumplir $S=\frac18 S_{\square}$. Por lo que obtuvo la ecuación: $$ \frac{6}{1-q}=\frac18 \cdot \frac{36}{1-q^2 } $$ Luego, Paul eliminó las fracciones de la ecuación anterior, transformó la ecuación resultante en la forma estándar de una ecuación cuadrática y la resolvió: $$ \begin{gather} 48-48q^2=36-36q \cr 4q^2-3q-1=0 \cr q_{1,2}=\frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2-4 \cdot 4 \cdot (-1) }}{2\cdot 4} \cr q_1=1,~q_2=-\frac14 \end{gather} $$

Mike razonó como sigue: Si $S=\frac{6}{1-q}$, entonces para la suma de los cuadrados de todos los términos de la progresión dada, debe cumplirse: $$ S_{\square}=\left(\frac{6}{1-q}\right)^2 $$ Luego, continuó. Si $S=\frac18 S_{\square}$, entonces: $$ \frac{6}{1-q}=\frac18 \cdot \left(\frac{6}{1-q}\right)^2 $$ En la anterior ecuación, eliminó las fracciones multiplicando ambos miembros por $8(1-q)^2$ y obtuvo: $$ \begin{gather} 48(1-q)=36 \cr q=\frac14 \end{gather} $$

Kate estaba convencida de que las dos progresiones difieren en la razón común, por lo que la suma de los cuadrados de todos los términos de la progresión dada debería ser: $$ S_{\square}=\frac{6}{1-q^2 } $$ Luego continuó de la siguiente forma: $$ \frac{6}{1-q}=\frac18 \cdot \frac{6}{1-q^2 } $$ Multiplicó ambos miembros de la ecuación por $8(1-q^2 )$ y obtuvo: $$ \begin{gather} 48(1+q)=6 \cr q=-\frac78 \end{gather} $$ ¿Alguno de ellos llegó al resultado correcto?