Sophia y Olivia debían resolver la siguiente tarea:
En un triángulo rectángulo $ABC$ con ángulo recto en el vértice $C$, denotemos el ángulo en el vértice $A$ como $\alpha$ (es decir, $\measuredangle BAC=\alpha$). Para el ángulo $\alpha$ se cumple
$$\sin \alpha =\cos \alpha.$$
La longitud de la hipotenusa es $2$. Determine el área del círculo inscrito en este triángulo.
Sophia presentó su solución.
(1) Dibujó un triángulo rectángulo con un círculo inscrito en él:
(2) Observó que el área $P$ de $\Delta ABC$ se puede expresar en términos de las longitudes de sus lados y de la longitud $\rho$ del radio del círculo inscrito: $$ P=\frac12 a\rho +\frac12 b\rho +\frac12 c\rho =\frac12 \rho (a+b+c) $$
(3) A partir de ahí, expresó el radio $\rho$ como: $$ \rho =\frac{2P}{a+b+c} $$ (4) Luego continuó de la siguiente forma: $$ \begin{gather} \sin \alpha =\cos \alpha \Rightarrow \frac{a}{c}=\frac{b}{c} \Rightarrow a=b \cr a^2+a^2=2^2 \cr a=\sqrt{2} \end{gather} $$ (5) Para finalizar, calculó el área $P$ y el radio $\rho$: $$ \begin{gather} P=\frac{ab}{2}=1 \cr \rho =\frac{2}{\sqrt{2}+\sqrt{2}+2} =\frac{1}{\sqrt{2}+1} \end{gather} $$ (6) Y pudo determinar el área $A$ del círculo inscrito: $$ A =\pi\rho^2=\frac{\pi}{3+2\sqrt{2}} $$
Aquí está la resolución de Olivia:
(1) Utilizó el hecho de que $\sin \alpha = \cos \alpha$, lo que implica que $\alpha =\frac{\pi}{4}$ y $\Delta ABC$ es un triángulo rectángulo isósceles.
(2) Dibujó un triángulo rectángulo isósceles con un círculo inscrito.
(3)Sabía que la bisectriz del ángulo diferente de un triángulo rectángulo isósceles es la mediatriz de la hipotenusa, por lo que: $$ \tan \frac{ \alpha}{2}=\frac{\rho}{1} $$
(4) Recordó la fórmula de la tangente del ángulo mitad: $$ \tan \frac{ \alpha}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos \alpha}{1+\cos \alpha}} $$ y expresó el radio $\rho$ de la forma: $$ \rho =\sqrt{\frac{1-\frac1{\sqrt{2}}}{1+\frac1{\sqrt{2}}}}=\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}} $$
(5) Para acabar, calculó el área $A$ del círculo inscrito: $$ A =\pi\rho^2=\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1} \pi $$
El profesor ha pedido opiniones a sus compañeros. Determina cuál es el comentario correcto.
Karel está convencido de que ambas han resuelto la tarea correctamente.
Libor piensa que ninguna solución es correcta. Ambas han cometido un error al calcular el radio $\rho$.
Mark está convencido de que Olivia ha cometido un error en el paso (4). Debería haber sido: $$ \tan \frac{ \alpha}{2}= \frac{\sin \frac{ \alpha}{2}}{\cos\frac{\alpha}{2}} =1,~\rho =1 $$
Kate piensa que Olivia ha cometido un error en el paso (3). Ha simplificado el ejemplo considerando que la bisectriz del ángulo diferente de un triángulo rectángulo isósceles divide la hipotenusa en partes iguales, lo que puede no ser siempre cierto.
$$\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}\cdot \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}+1}= \frac{1}{3+2\sqrt{2}}$$
