Dados los vectores $\overrightarrow{u}= (1; u_2)$ y $\overrightarrow{v} = (4; -1)$, donde $|\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}| = 5$, halla la coordenada desconocida $u_2$ del vector $\overrightarrow{u}$.
La solución de Juana:
(1) $\overrightarrow{u} -\overrightarrow{v}= (-3; u_2 + 1)$
(2) $|\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}| = \sqrt{(-3)^2+(u_2+ 1)^2} = 5$
(3) A continuación, Juana ha solucionado la ecuación:
$$\sqrt{(-3)^2+(u_2+ 1)^2} = 5$$
(a) Ha elevado al cuadrado ambos lados de la ecuación: $$9 +(u_2+ 1)^2=25$$
(b) Luego, ha restado $9$ a ambos lados de la ecuación: $$(u_2+ 1)^2=16$$
(c) Ha sacado la raíz cuadrada de ambos lados de la ecuación: $$u_2+ 1=4$$
(d) Por último, ha determinado $u_2$: $$u_2=3$$
La solución de Juana no es correcta. ¿En qué se ha equivocado en su procedimiento?
En el paso (1). La diferencia de los vectores $\overrightarrow{u}$ y $\overrightarrow{v}$ es $\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}=(-3; u_2-1)$.
En el paso (2). El módulo de la diferencia de $\overrightarrow{u}$ y $\overrightarrow{v}$ es $|\overrightarrow{u} -\overrightarrow{v}| = \sqrt{(-3)^2 \cdot(u_2+ 1)^2 }$.
En el paso (3a). Si elevamos al cuadrado ambos lados de la ecuación, obtenemos $-9 +(u_2+ 1)^2=25$.
En el paso (3c). Al tomar la raíz cuadrada de ambos lados de la ecuación, obtenemos $|u_2+ 1|=4$
La solución correcta de $\sqrt{(-3)^2+(u_2+1)^2} = 5 $ es:
$$\begin{alignat}2 \sqrt{(-3)^2+(u_2+1)^2} &= 5\quad &&/^2\cr 9 +(u_2+ 1)^2&=25 &&/-9\cr (u_2+ 1)^2&=16 &&/^\sqrt{} \cr |u_2+ 1|&=4 ⇔ &&\ (u_2+ 1=4)\vee(u_2+ 1=-4 )\cr & &&\ (u_2=3)\vee(u_2=-5) \end{alignat}$$