Podane wektory $\overrightarrow{u}= (1; u_2)$ oraz $\overrightarrow{v} = (4; -1)$, gdzie $|\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}| = 5$, znajdź nieznaną współrzędną $u_2$ wektora $\overrightarrow{u}$.
Jane postępowała w następujący sposób:
(1) $\overrightarrow{u} -\overrightarrow{v}= (-3; u_2 + 1)$
(2) $|\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}| = \sqrt{(-3)^2+(u_2+ 1)^2} = 5$
(3) Następnie Jane rozwiązała równanie:
$$\sqrt{(-3)^2+(u_2+ 1)^2} = 5$$
(a) Podniosła do kwadratu obie strony równania:
$$9 +(u_2+ 1)^2=25$$(b) Następnie odjęła $9$ z obydwu stron równania: $$(u_2+ 1)^2=16$$
(c) Następnie obliczyła pierwiastek kwadratowy z obu stron równania: $$u_2+ 1=4$$
(d) Ostatecznie ustaliła $u_2$: $$u_2=3$$
Rozwiązanie Jane nie jest poprawne. Gdzie Jane popełniła błąd w swojej procedurze?
Błąd tkwi w kroku (1). Różnica wektorów $\overrightarrow{u}$ oraz $\overrightarrow{v}$ jest $\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}=(-3; u_2-1)$.
Błąd tkwi w kroku (2). Norma różnicy $\overrightarrow{u}$ oraz $\overrightarrow{v}$ jest $|\overrightarrow{u} -\overrightarrow{v}| = \sqrt{(-3)^2 \cdot(u_2+ 1)^2 }$.
Błąd tkwi w kroku (3a). Gdy podniesiemy obie strony równania do kwadratu, otrzymamy $-9 +(u_2+ 1)^2=25$.
Błąd tkwi w kroku (3c). Gdy obliczymy pierwiastek kwadratowy z obu stron równania, otrzymamy $|u_2+ 1|=4$
Poprawne rozwiązanie równania $\sqrt{(-3)^2+(u_2+1)^2} = 5 $ jest:
$$\begin{alignat}2 \sqrt{(-3)^2+(u_2+1)^2} &= 5\quad &&/^2\cr 9 +(u_2+ 1)^2&=25 &&/-9\cr (u_2+ 1)^2&=16 &&/^\sqrt{} \cr |u_2+ 1|&=4 ⇔ &&\ (u_2+ 1=4)\vee(u_2+ 1=-4 )\cr & &&\ (u_2=3)\vee(u_2=-5) \end{alignat}$$