¿Existe un triángulo obtusángulo $ABC$ con $b=3\, \mathrm{cm}$, $a=4\, \mathrm{cm}$, y $\alpha=55^\circ$? (Suponemos que los ángulos $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ son los opuestos a los lados $a$, $b$, $c$, respectivamente). En caso afirmativo, halla su ángulo interior $\beta$.
La solución de Martina:
(1) De acuerdo con el teorema del seno: $$\frac{b}{\sin\beta}=\frac{a}{\sin\alpha}$$
(2) Después de reordenar, obtenemos: $$\sin\beta=\frac{b}{a}\cdot\sin\alpha$$
(3) Sustituyendo los valores conocidos (utilizando una calculadora) obtenemos: $$\sin\beta\cong 0.61436$$
(4) Suponiendo que $\sin\beta>0$, las soluciones de la ecuación son un ángulo agudo $\beta\cong37.9^\circ$ y un ángulo obtuso $\beta\cong142.1^\circ$.
(5) El ángulo $\beta=37.9^\circ$ no cumple las condiciones del problema. El triángulo $ABC$ no sería obtuso.
(6) Hay un único triángulo obtusángulo $ABC$ con las propiedades dadas. Su ángulo interno $\beta$ es aproximadamente $142.1^\circ$.
¿En qué paso cometió un error Martina?
El error está en el paso (6). Tampoco el ángulo $\beta\cong142.1^\circ$ coincide con lo que pide el enunciado. Un triángulo con las propiedades dadas no existe.
El error está en el paso (1). El teorema del seno no está escrito correctamente.
El error está en el paso (2). La expresión de $\sin\beta$ a partir del teorema del seno es incorrecta.
El error está en el paso (3). Obtenemos $\sin\beta=-0.7498$ después de sustituir, lo que significa que un triángulo con las propiedades dadas no existe.
El error está en el paso (5). Aunque el ángulo $\beta$ es agudo, el ángulo obtuso en el triángulo será el ángulo $\gamma$.
La suma de los ángulos internos de un triángulo siempre es igual a $180^\circ$, es decir, $$\alpha+\beta+\gamma = 180^\circ$$
La suma de dos ángulos cualesquiera no puede ser mayor o igual a $180^\circ$, porque entonces el tercer ángulo tendría que ser nulo o negativo, lo cual no es posible en un triángulo.
En nuestro caso, se ha obtenido que
$$\alpha+\beta > 180^\circ$$
y, por lo tanto, dicho triángulo no existe.