Tres estudiantes solucionaron la inecuación: $$ 2x^2+12x+20 \geq 0 $$
Luke recordó que $(x+6)^2=x^2+12x+36$ y entonces reescribió la desigualdad en la forma: $$ (x+6)^2−36+20 \geq 0 $$ Entonces, la solucionó así: $$ \begin{align} (x+6)^2 \geq 16 \cr x+6 \geq 4 \cr x\geq−2 \end{align} $$ Adam decidió determinar el discriminante del polinomio cuadrático: $$ D=12^2−4\cdot 2 \cdot 20=−16 $$ El discriminante salió negativo, de lo que concluyó que la inecuación no tiene solución.
Eva también descubrió que el discriminante era negativo, así que decidió representar gráficamente la función cuadrática $f(x)=2x^2+12x+20$. Sabía que la gráfica era una parábola y determinó su vértice utilizando el método de completar el cuadrado: $$ \begin{align} 2(x^2+6x+9)−9\cdot 2+20 \geq 0 \cr 2(x+3)^2+2 \geq 0 \cr V=(−3;−2) \end{align} $$ Luego razonó de la siguiente forma: El vértice de la parábola está por debajo del eje $x$, el discriminante del trinomio cuadrático es negativo, por lo que esto significa que la parábola se abre hacia abajo, y la función no puede tomar valores positivos. La inecuación dada no tiene solución.
¿Cuál de ellos procedió correctamente en la solución?
Ninguno de ellos.
Eva
Luke
Adam
Completando el cuadrado, obtenemos: $$ 2(x+3)^2+2\geq0 $$ Las coordenadas del vértice de la parábola son: $x=-3$, $y=2$, pero no es necesario determinarlas. Los dos datos siguientes son suficientes: El discriminante del trinomio cuadrático es negativo, lo que significa que la parábola no tiene intersecciones con el eje $x$. El coeficiente del término cuadrático es positivo ($a=2$), por lo que la parábola se abre hacia arriba. Todo eso junto significa que la función cuadrática sólo toma valores positivos, y la solución de la desigualdad dada es todo $x \en \mathbb{R}$.