Tři studenti řešili nerovnici: $$ 2x^2+12x+20 \geq 0 $$
Lukáš si pamatoval, že $(x+6)^2=x^2+12x+36$ a tak nerovnici přepsal do tvaru: $$ (x+6)^2−36+20 \geq 0 $$ Dále postupoval takto: $$ \begin{align} (x+6)^2 \geq 16 \cr x+6 \geq 4 \cr x\geq−2 \end{align} $$ Adam se rozhodl určit diskriminant kvadratického trojčlenu: $$ D=12^2−4\cdot 2 \cdot 20=−16 $$ Protože diskriminant vyšel záporný, došel Adam k závěru, že nerovnice nemá řešení.
Eva také zjistila, že diskriminant je záporný, rozhodla se tedy sestrojit graf kvadratické funkce $f(x)=2x^2+12x+20$. Věděla, že grafem bude parabola, její vrchol určila doplněním na čtverec takto: $$ \begin{align} 2(x^2+6x+9)−9\cdot 2+20 \geq 0 \cr 2(x+3)^2+2 \geq 0 \cr V=(−3;−2) \end{align} $$ Pak uvažovala takto: Vrchol paraboly leží pod osou $x$, diskriminant kvadratického trojčlenu je záporný, a to znamená, že parabola se otevírá směrem dolů. Funkce tedy nemůže nabývat kladných hodnot. Dospěla tak k závěru, že zadaná nerovnice nemá řešení.
Kdo z nich při řešení postupoval správně?
Nikdo.
Eva
Lukáš
Adam
Doplněním na čtverec dostaneme: $$ 2(x+3)^2+2\geq0 $$ Souřadnice vrcholu paraboly jsou $x=−3$, $y=2$, ale není nutné je určovat. Následující dvě informace jsou dostačující: Diskriminant kvadratického trojčlenu je záporný, což znamená, že parabola neprotíná osu $x$. Koeficient kvadratického členu je kladný ($a=2$), proto se parabola otevírá směrem nahoru. Obě informace společně znamenají, že kvadratická funkce nabývá pouze kladných hodnot a tudíž řešeními zadané nerovnice jsou všechna $x \in \mathbb{R}$.