Darius, Ricardo y Libor resolvieron la siguiente ecuación con valor absoluto: $$ |x| = x -1. $$ Cada uno procedió a su manera:
Darius recordó que de la ecuación $|x|=9$ se deduce $x=9$ o $x=-9$, así que decidió proceder de forma análoga: $$ x=x−1 \mathrm{~o~} x=−(x−1). $$ Resolvió ambas ecuaciones mentalmente y descubrió que la primera ecuación no tiene solución ($0\neq-1$) y la segunda tiene la solución $x=\frac12$. Darius hizo entonces una comprobación que mostró que $x=\frac12$ no satisface la ecuación original. Concluyó que la ecuación dada no tiene solución.
Ricardo recordó que $|x|^2=x^2$, así que decidió eliminar el valor absoluto elevando al cuadrado ambos lados de la ecuación: $$ (|x|)^2=(x−1)^2. $$ A continuación, procedió de la siguiente manera: $$ \begin{align} x^2=x^2−2x+1 \cr 2x=1 \cr x=\frac12 . \end{align} $$ Ricardo también llegó a la solución $x=\frac12$. Hizo una comprobación y encontró que la ecuación dada no tiene solución.
Libor siguió la definición de valor absoluto, es decir, para cualquier número real: $$ |x|=x \mathrm{~si~} x\geq 0 \mathrm{~y~} |x|=−x \mathrm{~si~} x<0. $$ En el primer caso, para $x\geq 0$, obtuvo la ecuación: $$ x=x-1\mathrm{~(no~solución)} $$ En el segundo caso, para $x<0$, obtuvo la ecuación $-x=x-1$, es decir $$ \begin{align} x=-(x-1) \cr x=\frac12. \cr \end{align} $$ Después de hacer la comprobación, afirma que la ecuación dada no tiene solución.
¿Es errónea alguna de las soluciones presentadas por los alumnos?
No, todas las soluciones son correctas.
Sí, la solución de Ricardo es incorrecta. Debería haber sido $|x|^2=\pm x^2$
Sí, la solución de Darius es incorrecta. Podemos utilizar este razonamiento sólo si hay un número en el lado derecho de la ecuación.
Sí, la solución de Libor es incorrecta. Debería haber resuelto la ecuación para $x \in (-\infty;1)$ y para $x \in [ 1;+\infty)$.