Emma y Franco intentaron calcular el valor de $\sin375^\circ$ sin utilizar la calculadora.
Identifica quién cometió un error y en qué paso de su solución.
La solución de Emma:
$$\sin375^\circ \stackrel{(1)}=\sin\left(360^\circ+15^\circ\right)\stackrel{(2)}=\sin15^\circ\stackrel{(3)}=\sin\frac{30^\circ}{2}\stackrel{(4)}=\frac{\frac12}{2}\stackrel{(5)}=\frac14$$
La solución de Franco:
$$\sin375^\circ\stackrel{(1)}=\sin\left(360^\circ+60^\circ-45^\circ\right)\stackrel{(2)}=\sin\left(60^\circ-45^\circ\right)\stackrel{(3)}=\sin60^\circ-\sin45^\circ\stackrel{(4)}=\frac{\sqrt3-\sqrt2}{2}$$
Los dos cometieron un error en el paso (2): $$\sin\left(360^\circ+15^\circ\right)\neq \sin15^\circ$$ y $$\sin\left(360^\circ+60^\circ-45^\circ\right) \neq\left(\sin60^\circ-45^\circ\right).$$
Solo Emma cometió un error. El error está en el paso (4): $$\sin\frac{30^\circ}{2}\neq\frac{\sin30^\circ}{2}$$
Solo Franco cometió un error. El error está en el paso (3): $$\sin\left(60^\circ-45^\circ\right)\neq\sin60^\circ-\sin45^\circ$$
Ambos cometieron un error.
Emma cometió un error (4): $$\sin\frac{30^\circ}{2}\neq\frac{\sin30^\circ}{2}$$ Franco cometió un error (3): $$\sin\left(60^\circ-45^\circ\right)\neq\sin60^\circ-\sin45^\circ$$
Revisemos la solución corregida de Emma: $$\sin375^\circ=\sin\left(360^\circ+15^\circ\right)$$ Usamos el hecho de que $\sin\left(\alpha\right)$ es una función periódica, por lo que $\sin\left(360^\circ+\alpha\right)=\sin\left(\alpha\right)$ para cada ángulo $\alpha$. Por lo tanto: $$\sin\left(360^\circ+15^\circ\right)=\sin 15^\circ=\frac{\sin30^\circ}{2}.$$ A continuación, utilizando la identidad de medio ángulo $\left|\sin\frac{x}{2}\right|=\sqrt{\frac{1-\cos x}{2}}$, obtenemos: $$\sin\frac{30^\circ}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos30^\circ}{2}}=\sqrt{\frac{1-\frac{\sqrt3}{2}}{2}}=\frac{\sqrt{2-\sqrt3}}{2}$$
Ahora, revisemos la solución corregida de Francis: $$\sin375^\circ=\sin\left(360^\circ+60^\circ-45^\circ\right)=\sin\left(60^\circ-45^\circ\right)$$
A continuación, utilizando la identidad trigonométrica $\sin\left(\alpha-\beta\right)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta$, obtenemos: $$\sin\left(60^\circ-45^\circ\right)=\sin60^\circ\cos45^\circ-\cos60^\circ\sin45^\circ=\frac{\sqrt3}{2}\frac{\sqrt2}{2}-\frac12\frac{\sqrt2}{2}=\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}.$$ Por último, ten en cuenta que: \begin{aligned} \frac{\sqrt{2-\sqrt3}}{2}&=\frac{2\sqrt{2-\sqrt3}}{4}=\frac{\sqrt{8-\sqrt{48}}}{4}=\frac{\sqrt{6-\sqrt{4\cdot2\cdot6}+2}}{4}=\cr &=\frac{\sqrt{6-2\cdot\sqrt2\cdot\sqrt6+2}}{4}=\frac{\sqrt{\left(\sqrt6-\sqrt2\right)^2}}{4}=\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}\end{aligned}