Ema a František se snažili bez kalkulačky vypočítat hodnotu výrazu $\sin375^\circ$.
Kdo a ve kterém kroku svého řešení udělal chybu?
Řešení Emy:
$$\sin375^\circ \stackrel{(1)}=\sin\left(360^\circ+15^\circ\right)\stackrel{(2)}=\sin15^\circ\stackrel{(3)}=\sin\frac{30^\circ}{2}\stackrel{(4)}=\frac{\frac12}{2}\stackrel{(5)}=\frac14$$
Františkovo řešení:
$$\sin375^\circ\stackrel{(1)}=\sin\left(360^\circ+60^\circ-45^\circ\right)\stackrel{(2)}=\sin\left(60^\circ-45^\circ\right)\stackrel{(3)}=\sin60^\circ-\sin45^\circ\stackrel{(4)}=\frac{\sqrt3-\sqrt2}{2}$$
Oba udělali chybu v kroku (2): $$\sin\left(360^\circ+15^\circ\right)\neq \sin15^\circ$$ a také $$\sin\left(360^\circ+60^\circ-45^\circ\right) \neq\left(\sin60^\circ-45^\circ\right).$$
Chybu udělala jen Ema. V kroku (4): $$\sin\frac{30^\circ}{2}\neq\frac{\sin30^\circ}{2}$$
Chybu udělal jen František. V kroku (3): $$\sin\left(60^\circ-45^\circ\right)\neq\sin60^\circ-\sin45^\circ$$
Chybu udělali oba.
Ema v kroku (4): $$\sin\frac{30^\circ}{2}\neq\frac{\sin30^\circ}{2}$$ František v kroku (3): $$\sin\left(60^\circ-45^\circ\right)\neq\sin60^\circ-\sin45^\circ$$
Podívejme se na Emino opravené řešení: $$\sin375^\circ=\sin\left(360^\circ+15^\circ\right)$$ Využijeme skutečnost, že funkce $\sin\left(\alpha\right)$ je periodická, takže $\sin\left(360^\circ+\alpha\right)=\sin\left(\alpha\right)$ pro každý úhel $\alpha$. Proto: $$\sin\left(360^\circ+15^\circ\right)=\sin 15^\circ=\sin\frac{30^\circ}{2}.$$ Dále použijeme vztah pro sinus polovičního úhlu $\left|\sin\frac{x}{2}\right|=\sqrt{\frac{1-\cos x}{2}}$, čímž získáme: $$\sin\frac{30^\circ}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos30^\circ}{2}}=\sqrt{\frac{1-\frac{\sqrt3}{2}}{2}}=\frac{\sqrt{2-\sqrt3}}{2}$$
Nyní se podívejme na Františkovo opravené řešení: $$\sin375^\circ=\sin\left(360^\circ+60^\circ-45^\circ\right)=\sin\left(60^\circ-45^\circ\right)$$
Použijeme trigonometrický vztah $\sin\left(\alpha-\beta\right)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta$, čímž dostaneme: $$\sin\left(60^\circ-45^\circ\right)=\sin60^\circ\cos45^\circ-\cos60^\circ\sin45^\circ=\frac{\sqrt3}{2}\frac{\sqrt2}{2}-\frac12\frac{\sqrt2}{2}=\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}.$$ Nakonec si ukážeme, že: \begin{aligned} \frac{\sqrt{2-\sqrt3}}{2}&=\frac{2\sqrt{2-\sqrt3}}{4}=\frac{\sqrt{8-\sqrt{48}}}{4}=\frac{\sqrt{6-\sqrt{4\cdot2\cdot6}+2}}{4}=\cr &=\frac{\sqrt{6-2\cdot\sqrt2\cdot\sqrt6+2}}{4}=\frac{\sqrt{\left(\sqrt6-\sqrt2\right)^2}}{4}=\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}\end{aligned}