Kombinatorické nerovnice

Tereza řešila nerovnici pro $x\in\mathbb{N}$: $${x+1\choose5}\geq5\cdot{x-1\choose 5}$$

(1) Nejprve Tereza převedla kombinační čísla na výrazy s faktoriály. $$\frac{(x+1)!}{5!\cdot(x-4)!}\geq5\cdot\frac{(x-1)!}{5!\cdot(x-6)!}$$

(2) Rozložila faktoriály na součin. $$\frac{(x+1)x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)!}{5!\cdot(x-4)!}\geq5\cdot\frac{(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)(x-6)!}{5!\cdot(x-6)!}$$

(3) Zjednodušila výrazy na obou stranách nerovnice krácením zlomků: $$\frac{(x+1)x(x-1)(x-2)(x-3)}{5!}\geq5\cdot\frac{(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)}{5!}$$

(4) Obě strany nerovnice Tereza vynásobila číslem $5!$: $$(x+1)x(x-1)(x-2)(x-3)\geq5\cdot(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)$$

(5) Obě strany nerovnice vydělila výrazem $(x-1)(x-2)(x-3)$: $$(x+1)x\geq5(x-4)(x-5)$$

(6) Tereza odstranila závorky a upravila kvadratickou nerovnici do základního tvaru: \begin{aligned} x^2+x&\geq5(x^2-4x-5x+20)\cr x^2+x&\geq5x^2-45x+100\cr 4x^2-46x+100&\leq0\cr 2x^2-23x+50&\leq0 \end{aligned}

(7) Našla kořeny příslušné kvadratické rovnice: $$2x^2-23x+50=0$$ $$x_1\approx2{,}91,\quad x_2\approx 8{,}59$$

(8) Nakonec Tereza určila kořeny nerovnice s ohledem na obor přirozených čísel. $$K=\left\{3,4,5,6,7,8\right\}$$

Spolužáci Terezy komentovali její řešení. Který z nich komentoval nesprávně?

• Adam věří, že řešení Terezy je správné.
• David se domnívá, že Tereza udělala chybu v kroku (5). Tvrdí, že dělení nerovnice výrazem $(x-1)(x-2)(x-3)$ může vést ke ztrátě kořenů řešení. Problémem je, že nemůžeme dělit nerovnici výrazem, u kterého neznáme jeho znaménko.
• Peter souhlasí s Davidem. Tvrdí, že po započtení chybějících řešení dostaneme: $$K=\left\{1,2,3,4,5,6,7,8\right\}$$
• Nikola si myslí, že Tereza zapomněla na podmínku pro existenci kombinačního čísla. Pro kombinační číslo ${n\choose k}$ platí, že $n\geq k\geq 0$. Proto pro existenci kombinačního čísla $${x+1\choose5}\quad\mbox{a}\quad{x-1\choose 5}$$ musí platit, že $$(x+1\geq5\wedge x-1\geq5)\Rightarrow(x\geq4\wedge x\geq6)\Rightarrow x\geq6$$
• Sandra dodává, že kdybychom znali podmínku $x\geq6$ už od začátku, mohli bychom dělit výrazem $(x-1)(x-2)(x-3)$ v kroku (5), protože bychom věděli, že je výraz kladný.
• Tom říká, že všechny indicie mu ukazují, že výsledné řešení musí být $K=\left\{6,7,8\right\}$.