Jsou dány body $A=[2;-3]$, $B=[8;1]$ a $T=[6;4]$. Najděte souřadnice vrcholu $C$ trojúhelníku $ABC$ s těžištěm $T$.
Pavlovo řešení:
(1) Těžnice $t_c$ trojúhelníku $ABC$ je úsečka spojující vrchol $C$ a střed $S$ protilehlé strany (viz obrázek). Proto $S=\frac12(A+B)=[5;-1]$.
(2) $\overrightarrow{ST}=T-S=(1;5)$.
(3) Těžiště $T$ dělí těžnici $t_C=SC$ v poměru $1:2$, proto $\overrightarrow{SC}=2\overrightarrow{ST}=(2;10)$.
(4) $\overrightarrow{SC}=C-S$, proto $\mathbf{C=}S+\overrightarrow{SC}=\mathbf{[7;9]}.$
Pavlovo řešení je chybné. Kde udělal Pavel ve svém postupu chybu?
Chyba je v kroku (1). Správné souřadnice bodu $S$: $S=\frac12(B-A)=[3;2]$.
Chyba je v kroku (2). Správný vektor $\overrightarrow{ST}$ má být $\overrightarrow{ST}=(1;3)$.
Chyba je v kroku (4). Pro vektor $\overrightarrow{SC}$ platí vztah $\overrightarrow{SC}=3\overrightarrow{ST}=(3;15)$.
Chyba je v kroku (5). Správné souřadnice bodu $C$: $\mathbf{C=}S-\overrightarrow{SC}=\mathbf{[3;-11]}$.
(1) Těžnice $t_c$ trojúhelníku $ABC$ je úsečka spojující vrchol $C$ a střed $S$ protilehlé strany (viz obrázek). Proto $S=\frac12(A+B)=[5;-1]$.
(2) $\overrightarrow{ST}=T-S=(1;5)$.
(3) Těžiště $T$ dělí těžnici $t_C=SC$ v poměru $1:2$. Proto $\overrightarrow{SC}=3\overrightarrow{ST}=(3;15)$.
(4) $\overrightarrow{SC}=C-S$, proto $\mathbf{C}=S+\overrightarrow{SC}=\mathbf{[8;14]}.$