Derivace funkce

9000070707

Část: 
B
Určete první derivaci funkce \(f\colon y = \root{5}\of{x^{2} - 7x}\). Poznámka: Funkce \(f\colon y = \root{5}\of{x}\) je definována pro \(x\in \left < 0;\infty \right )\).
\(f^{\prime}(x) = \frac{2x-7} {5(x^{2}-7x)^{\frac{4} {5} }} ;\ x\in \left (-\infty ;0\right )\cup \left (7;\infty \right )\)
\(f^{\prime}(x) = \frac{2x-7} {5(x^{2}-7x)^{\frac{4} {5} }} ;\ x\in \left (-\infty ;0\right \rangle \cup \left \langle 7;\infty \right )\)
\(f^{\prime}(x) = (2x - 7)\root{4}\of{x^{2} - 7x};\ x\in \left (-\infty ;0\right )\cup \left (7;\infty \right )\)
\(f^{\prime}(x) = (2x - 7)\root{4}\of{x^{2} - 7x};\ x\in \left (-\infty ;0\right \rangle \cup \left \langle 7;\infty \right )\)

9000070708

Část: 
B
Určete první derivaci funkce \(f\colon y =\ln \left (\frac{1+x} {1-x}\right )\).
\(f^{\prime}(x) = \frac{2} {1-x^{2}} ;\ x\in \left (-1;1\right )\)
\(f^{\prime}(x) = \frac{2} {1-x^{2}} ;\ x\in \mathbb{R}\setminus \left \{-1;1\right \}\)
\(f^{\prime}(x) = \frac{1-x} {1+x};\ x\in \left (-1;1\right )\)
\(f^{\prime}(x) = \frac{1-x} {1+x};\ x\in \mathbb{R}\setminus \left \{-1;1\right \}\)

9000070807

Část: 
B
Určete první derivaci funkce \(f\colon y = \frac{x^{4}+3} {x^{2}} + x^{3}\).
\(f'(x) = 3x^{2} + 2x - \frac{6} {x^{3}} ;\ x\in \mathbb{R}\setminus \{0\}\)
\(f'(x) = 6x^{2} - 2x - \frac{6} {x^{3}} ;\ x\in \mathbb{R}\setminus \{0\}\)
\(f'(x) = 3x^{2} + 2x + \frac{6} {x^{3}} ;\ x\in \mathbb{R}\setminus \{0\}\)
\(f'(x) = 6x^{2} - 2x + \frac{6} {x^{3}} ;\ x\in \mathbb{R}\setminus \{0\}\)

9000070808

Část: 
B
Určete první derivaci funkce \(f\colon y = \frac{x} {x+1}\).
\(f'(x) = \frac{1} {(x+1)^{2}} ;\ x\in \mathbb{R}\setminus \{ - 1\}\)
\(f'(x) = - \frac{1} {(x+1)^{2}} ;\ x\in \mathbb{R}\setminus \{ - 1\}\)
\(f'(x) = \frac{x} {(x+1)^{2}} ;\ x\in \mathbb{R}\setminus \{ - 1\}\)
\(f'(x) = - \frac{x} {(x+1)^{2}} ;\ x\in \mathbb{R}\setminus \{ - 1\}\)

9000070809

Část: 
B
Určete první derivaci funkce \(f\colon y = 3x^{2}\sin x\).
\(f'(x) = 6x\sin x + 3x^{2}\cos x;\ x\in \mathbb{R}\)
\(f'(x) = 6x\cos x;\ x\in \mathbb{R}\)
\(f'(x) = 3x^{2}\sin x\cos x;\ x\in \mathbb{R}\)
\(f'(x) = -3x^{2}\sin x\cos x;\ x\in \mathbb{R}\)

2000010801

Část: 
C
Pohyb tělesa, které se pohybuje nerovnoměrným pohybem je popsán rovnicí \[ s=12t-\frac12 t^2, \] kde čas \(t\) je měřen v sekundách a dráha \(s\) je měřena v metrech. Určete velikost okamžité rychlosti, kterou se bude těleso pohybovat na konci osmé sekundy. (Nápověda: Okamžitou rychlost můžeme určit pomocí derivace funkce dráhy, tj. \(v(t)=\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\).)
\( 4 \,\mathrm{m}/\mathrm{s}\)
\( 64\, \mathrm{m}/\mathrm{s}\)
\( 8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}\)
V tom čase už bude těleso stát (\( v=0\, \mathrm{m}/\mathrm{s}\)).

2000010802

Část: 
C
Pohyb tělesa, které se pohybuje nerovnoměrným pohybem je popsán rovnicí \[ s=t^3-t^2+\frac12 t, \] kde čas \(t\) je měřen v sekundách a dráha \(s\) je měřena v metrech. Určete velikost okamžitého zrychlení tohoto tělesa na konci druhé sekundy jeho pohybu. (Nápověda: Okamžité zrychlení \(a\) můžeme určit pomocí derivace funkce rychlosti \(v(t)\). Protože rychlost můžeme určit pomocí derivace funkce \(s(t)\), můžeme zrychlení určit pomocí její druhé derivace: \(a(t)=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}^2s}{\mathrm{d}t^2}\).)
\( 10 \,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}\)
\( 10{,}5 \,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}\)
\( 8{,}5 \,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}\)
\( 5\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}\)

2000010803

Část: 
C
Na obrázku je graf závislosti dráhy na čase pohybujícího se tělesa (černá barva). V čase \(t=10\) sekund je sestrojena tečna ke grafu (červená barva). Pomocí obrázku určete rychlost tělesa v čase \(t=10\ \mathrm{s}\). (Nápověda: Okamžitou rychlost můžeme určit pomocí derivace funkce dráhy, tj. \(v(t)=\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\).)
\( 2 \,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\)
\( 0{,}5 \,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\)
\( 1 \,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\)
\( 30\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\)

2000010804

Část: 
C
Aby dané těleso mohlo rovnoměrně zrychlovat, musí motor konat práci, která závisí na době pohybu vztahem \[ W=3t^2, \] kde práce \(W\) je udávána v joulech a čas \(t\) v sekundách. Určete okamžitý výkon motoru v čase \(t=4\,\mathrm{s}\). (Nápověda: Okamžitý výkon \(P\) můžeme určit pomocí derivace funkce \(W(t)\) tj. \(P(t)=\frac{\mathrm{d}W}{\mathrm{d}t}\).)
\( 24 \,\mathrm{W}\)
\( 48 \,\mathrm{W}\)
\( 8 \,\mathrm{W}\)
\( 12 \,\mathrm{W}\)