Goniometrické rovnice a nerovnice

2010010705

Část: 
A
Řešením rovnice \( \cos\!\left(2\varphi + \frac{\pi}6\right) = - 1\) pro \( \varphi \in \langle 0;2\pi\rangle\) je množina:
\(\left\{ \frac{5\pi}{12}; \frac{17\pi}{12}\right\}\)
\(\left\{ \frac{5\pi}{12}; \frac{11\pi}{12}\right\}\)
\(\left\{ \frac{7\pi}{12}; \frac{13\pi}{12}\right\}\)
\(\left\{ \frac{7\pi}{12}; \frac{17\pi}{12}\right\}\)

2010012001

Část: 
A
Najděte všechna \( x\in\mathbb{R} \), pro která \( \mathrm{tg}^2x = \mathrm{tg}\,x \).
\( x\in\bigcup\limits_{k\in\mathbb{Z}} \left\{k\pi;\frac{\pi}4+k\pi \right\} \)
\( x\in\bigcup\limits_{k\in\mathbb{Z}} \left\{k\pi\right\} \)
\( x\in\bigcup\limits_{k\in\mathbb{Z}}\left\{\frac{\pi}4+k\pi \right\} \)
\( x\in\bigcup\limits_{k\in\mathbb{Z}} \left\{\frac{\pi}2+k\pi;\frac{\pi}4+k\pi \right\} \)

2010012002

Část: 
A
Řešte rovnici \( \cos^2x = \sqrt2 \cos x \) s neznámou \( x\in\mathbb{R} \).
\( x\in\bigcup\limits_{k\in\mathbb{Z}} \left\{ \frac{\pi}2+k\pi \right\} \)
\( x\in\bigcup\limits_{k\in\mathbb{Z}} \left\{ \frac{\pi}4+k\pi ;\frac{\pi}2+k\pi\right\} \)
\( x\in\bigcup\limits_{k\in\mathbb{Z}} \left\{ \frac{\pi}4+k\pi \right\} \)
\( x \in \emptyset \)

2010012004

Část: 
A
Nejmenší hodnota \( \varphi \), kde \( 0^{\circ} < \varphi < 180^{\circ} \), která vyhovuje rovnici \( \mathrm{tg}\!\left(2\varphi + 34^{\circ}\right) = -\frac{\sqrt3}{3} \), je:
\( 58^{\circ} \)
\( 148^{\circ} \)
\( 29^{\circ} \)
\( 92^{\circ} \)

2010012005

Část: 
A
Aritmetický průměr všech hodnot \( \varphi \) mezi \( 0^{\circ} \) a \( 360^{\circ} \), která vyhovují rovnici \( \sin\!\left(\varphi - 40^{\circ}\right) = 0 \), je:
\( 130^{\circ} \)
\( 220^{\circ} \)
\( 40^{\circ} \)
\( 180^{\circ} \)

9000046502

Část: 
A
Z nabízených možností vyberte nejlepší substituci nebo úpravu, kterou můžeme použít při řešení rovnice. Za nejlepší nepovažujeme tu možnost, kterou sice použít můžeme, ale řešení se tím zkomplikuje. \[ \cos 3x = 0{,}5 \]
substituce \( 3x = z\)
substituce \( \cos x = z\)
\(\cos ^{3}x -\sin ^{3}x = 0{,}5\)
\(\cos x = \frac{0{,}5} {3} \)

9000046503

Část: 
A
Vyberte nejlepší variantu z nabízených substitucí nebo úprav, kterou můžeme použít při řešení rovnice. Za nejlepší nepovažujeme tu možnost, kterou sice použít můžeme, ale řešení se tím zkomplikuje. \[ \mathop{\mathrm{tg}}\nolimits \left (-x + \frac{\pi } {6}\right ) = \sqrt{3} \]
substituce \( - x + \frac{\pi } {6} = z\)
\(\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits (-x) = \sqrt{3} - \frac{\pi } {6}\)
\(\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits ^{2}\left (-x + \frac{\pi } {6}\right ) = 3\)
\(\frac{\sin \left (-x+ \frac{\pi }{6} \right )} {\cos \left (-x+ \frac{\pi }{6} \right )} = \sqrt{3}\)

9000046504

Část: 
A
Vyberte nejlepší variantu z nabízených substitucí nebo úprav, kterou můžeme použít při řešení rovnice. Za nejlepší nepovažujeme tu možnost, kterou sice použít můžeme, ale řešení se tím zkomplikuje. \[ \cos \left (x + \frac{\pi } {3}\right ) = \frac{\sqrt{3}} {2} \]
substituce \( x + \frac{\pi } {3} = z\)
\(\cos ^{2}\left (x + \frac{\pi } {3}\right ) = \frac{3} {4}\)
substituce \( \frac{\sqrt{3}} {2} = z\)
\(\cos x\cdot \cos \frac{\pi }{3} -\sin x\cdot \sin \frac{\pi }{3} = \frac{\sqrt{3}} {2} \)

9000046510

Část: 
A
Z nabízených možností vyberte nejlepší substituci nebo úpravu, kterou můžeme použít při řešení rovnice. Za nejlepší nepovažujeme tu možnost, kterou sice použít můžeme, ale řešení se tím zkomplikuje. \[ 2\sin ^{2}x -\sin x - 1 = 0 \]
substituce \( \sin x = z\)
substituce \( \sin ^{2}x = z\)
\(2\sin ^{2}x -\sin x = 1\)
\(2\sin ^{2}x -\sin x =\sin ^{2}x +\cos ^{2}x\)