Goniometrické rovnice a nerovnice

1003086009

Část: 
C
Množina řešení rovnice \( \sin x + \cos x = 0 \) pro \( x\in\mathbb{R} \) je:
\( \bigcup\limits_{k\in\mathbb{Z}}\left\{\frac{3\pi}4+2k\pi;\frac{7\pi}4+2k\pi\right\} \)
\( \bigcup\limits_{k\in\mathbb{Z}}\left\{\frac{3\pi}4+2k\pi\right\} \)
\( \mathbb{R} \)
\( \emptyset \)

1003086103

Část: 
C
Řešením rovnice \( 2\sin x + \mathrm{tg}\,x = 0 \), \( x\in\mathbb{R} \) je množina:
\( \bigcup\limits_{k\in\mathbb{Z}}\left\{k\pi;\frac{2\pi}3+2k\pi;\frac{4\pi}3+2k\pi\right\} \)
\( \bigcup\limits_{k\in\mathbb{Z}}\left\{2k\pi;\frac{2\pi}3+2k\pi;\frac{4\pi}3+2k\pi\right\} \)
\( \bigcup\limits_{k\in\mathbb{Z}}\left\{k\pi;\frac{5\pi}6+k\pi;\frac{7\pi}6+k\pi\right\} \)
\( \bigcup\limits_{k\in\mathbb{Z}}\left\{k\pi;\frac{5\pi}6+2k\pi;\frac{7\pi}6+2k\pi\right\} \)

1003086107

Část: 
C
Množina řešení rovnice \( 2\mathrm{tg}^2x + 4\cos^2x = 7 \) pro \( x\in\mathbb{R} \) je:
\( \bigcup\limits_{k\in\mathbb{Z}}\left\{\frac{\pi}3+k\pi;\frac{2\pi}3+k\pi\right\} \)
\( \bigcup\limits_{k\in\mathbb{Z}}\left\{\frac{\pi}3+2k\pi;\frac{2\pi}3+2k\pi\right\} \)
\( \bigcup\limits_{k\in\mathbb{Z}}\left\{\frac{\pi}3+k\pi\right\} \)
\( \bigcup\limits_{k\in\mathbb{Z}}\left\{\frac{2\pi}3+k\pi\right\} \)

1003086108

Část: 
C
Množina řešení rovnice \( 1 + \sin x \cdot \cos 2x = \sin x + \cos 2x \) pro \( x\in\mathbb{R} \) je:
\( \bigcup\limits_{k\in\mathbb{Z}}\left\{\frac{\pi}2+2k\pi;k\pi\right\} \)
\( \bigcup\limits_{k\in\mathbb{Z}}\left\{\frac{\pi}2+2k\pi\right\} \)
\( \bigcup\limits_{k\in\mathbb{Z}}\left\{k\pi\right\} \)
\( \bigcup\limits_{k\in\mathbb{Z}}\left\{2k\pi\right\} \)

2010009804

Část: 
C
Množina řešení rovnice \( \mathrm{tg}\, x - \mathrm{cotg}\,x = 0 \) pro \( x\in\mathbb{R} \) je:
\( \bigcup\limits_{k\in\mathbb{Z}}\left\{\frac{\pi}4+k\pi;\frac{3\pi}4+k\pi\right\} \)
\( \bigcup\limits_{k\in\mathbb{Z}}\left\{k\pi;\frac{\pi}4+k\pi\right\} \)
\( \bigcup\limits_{k\in\mathbb{Z}}\left\{\frac{\pi}4+k\pi\right\} \)
\( \bigcup\limits_{k\in\mathbb{Z}}\left\{\frac{3\pi}4+k\pi\right\} \)

2010009805

Část: 
C
Množina řešení nerovnice \( |\cos x| \leq \frac12 \) pro \( x\in\mathbb{R} \) je:
\( \bigcup\limits_{k\in\mathbb{Z}}\left\langle\frac{\pi}3+k\pi;\frac{2\pi}3+k\pi\right\rangle \)
\( \bigcup\limits_{k\in\mathbb{Z}}\left\langle-\frac{\pi}3+k\pi;\frac{\pi}3+k\pi\right\rangle \)
\( \bigcup\limits_{k\in\mathbb{Z}}\left\langle\frac{\pi}3+k\pi; \infty\right) \)
\( \bigcup\limits_{k\in\mathbb{Z}}\left\langle\frac{\pi}3+k\pi;\frac{4\pi}3+k\pi\right\rangle \)

9000046505

Část: 
C
Z nabízených možností vyberte nejlepší substituci nebo úpravu, kterou můžeme použít při řešení rovnice. Za nejlepší nepovažujeme tu možnost, kterou sice použít můžeme, ale řešení se tím zkomplikuje. \[ \sin x = 1 +\cos x \]
\(\sin ^{2}x = 1 + 2\cos x +\cos ^{2}x\)
\(\sin ^{2}x = 1 +\cos ^{2}x\)
substituce \( 1 +\cos x = z\)
\(\sin x -\cos x = z\)

9000046507

Část: 
C
Z nabízených možností vyberte nejlepší substituci nebo úpravu, kterou můžeme použít při řešení rovnice. Za nejlepší nepovažujeme tu možnost, kterou sice použít můžeme, ale řešení se tím zkomplikuje. \[ \sqrt{3}\cos x = 1 -\sin x \]
\(3\cos ^{2}x = (1 -\sin x)^{2}\)
\(3\cos ^{2}x = 1 -\sin ^{2}x\)
substituce \( 1 -\sin x = z\)
substituce \( \cos x = z\)

9000046508

Část: 
C
Z nabízených možností vyberte nejlepší substituci nebo úpravu, kterou můžeme použít při řešení rovnice. Za nejlepší nepovažujeme tu možnost, kterou sice použít můžeme, ale řešení se tím zkomplikuje. \[ \sqrt{3}\sin x = 2 -\cos x \]
\(3\sin ^{2}x = 4 - 4\cos x +\cos ^{2}x\)
substituce \( 2 -\cos x = z\)
\(3\sin ^{2}x = 4 -\cos ^{2}x\)
\(3\sin ^{2}x = 1 - 2\cos x +\cos ^{2}x\)