Paula dostala za úlohu, aby zostrojila jeden trojuholník $ABC$, ktorý spĺňa nasledujúce podmienky: $a =|BC|=6\,\mathrm{cm}$, $\alpha = |\measuredangle BAC| = 50^{\circ}$, $t_a=4\,\mathrm{cm}$ (kde $t_a$ je ťažnica na stranu $a$).
Postupovala takto (pozri obrázok):
(1) Narysovala úsečku $BC$ dĺžky $6\,\mathrm{cm}$.
(2) Našla stred $S_a$ úsečky $BC$ a tvrdila, že tento bod leží na ťažnici $t_a$ trojuholníka $ABC$.
(3) Zostrojila kružnicu $k$ so stredom v bode $S_a$ a polomerom $t_a= 4\,\mathrm{cm}$ a tvrdila, že bod $A$ leží na kružnici $k$.
(4) Otočila bod $C$ okolo bodu $B$ o uhol $\alpha =50^{\circ}$ proti smeru hodinových ručičiek a získala bod $C'$. Potom zostrojila priamku $BC'$ a jej priesečník s osou úsečky $BC$ označila ako bod $S$.
(5) Zostrojila sa množina bodov $M$, z ktorých je úsečka $BC$ viditeľná pod uhlom $\alpha = 50^{\circ}$. Táto množina tvorí vnútorné body určitého oblúka kružnice so stredom $S$ a polomerom $|SB|$. Potom tvrdila, že bod $A$ leží na množine $M$.
(6) Našla priesečník množiny $M$ a kružnice $k$ a získala dva body. Vybrala jeden z nich a označila ho ako vrchol $A$.
(7) Dokončila konštrukciu trojuholníka $ABC$.
Urobila nejakú chybu? Ak áno, uveďte kde.
Áno, urobila chybu v kroku (2). Bod $S_a$ nepatrí ťažnici $t_a$ trojuholníka $ABC$.
Áno, urobila chybu v kroku (3). Bod $A$ nepatrí kružnici $k$.
Áno, urobila chybu v kroku (5). Bod $A$ neleži na množine $M$.
Áno, urobila chybu v kroku (6). Nie je správne vybrať ľubovoľný bod prieniku množiny $M$ s kružnicou $k$.
Nie, všetky kroky sú správne.
Správny postup je nasledovný (pozri obrázok):
(1) Narysujte úsečku $BC$ dĺžky $6\,\mathrm{cm}$.
(2) Nájdite stred $S_a$ úsečky $BC$.
(3) Zostrojte kružnicu $k$ so stredom v bode $S_a$ a polomerom $t_a=4\,\mathrm{cm}$.
(4) Otočte bod $C$ okolo bodu $B$ o uhol $\alpha =50^{\circ}$ v smere hodinových ručičiek a získajte bod $C'$. Potom zostrojte polpriamku $BC'$ a priamku $i$ kolmú na polpriamku $BC'$ a prechádzajúcu bodom $B$. Nakoniec označte priesečník priamky $i$ a osi $o$ strany $BC$ ako bod $S$.
(5) Zostrojte množinu bodov $M$, z ktorých je možné vidieť úsečku $BC$ pod uhlom $\alpha = 50^{\circ}$ (sú to vnútorné body oblúka kružnice so stredom $S$ a polomerom $|SB|$).
(6) Nájdite priesečníky množiny $M$ a kružnice $k$ (sú to dva body). Jeden z nich vyberte a označte ho ako vrchol $A$.
(7) Zostrojte trojuholník $ABC$.
Využijeme skutočnosť, že veľkosť stredového uhla je dvakrát väčšia ako veľkosť príslušného obvodového uhla. Ak je teda veľkosť obvodového uhla $50^{\circ}$, potom príslušný stredový uhol musí mať veľkosť $100^{\circ}$.
Poznámka: V nesprávnej konštrukcii, ktorú zotrojila Paula by stredový uhol meral $80^{\circ}$, takže zodpovedajúci obvodový uhol by meral $40^{\circ}$ (pozri obrázok nižšie).
