Pavla dostala za úkol sestrojit jeden trojúhelník $ABC$, který splňuje následující podmínky: $a = |BC| = 6\,\mathrm{cm}$, $\alpha = |\measuredangle BAC| = 50^{\circ}$, $t_a = 4\,\mathrm{cm}$ (kde $t_a$ je těžnice k straně $a$).
Postupovala následovně (viz obrázek):
(1) Narýsovala úsečku $BC$ délky $6\,\mathrm{cm}$.
(2) Nalezla střed $S_a$ úsečky $BC$ a uvedla, že tento bod leží na těžnici $t_a$ trojúhelníku $ABC$.
(3) Narýsovala kružnici $k$ se středem v bodě $S_a$ a poloměrem $t_a = 4\,\mathrm{cm}$ a tvrdila, že bod $A$ leží na kružnici $k$.
(4) Otočila bod $C$ kolem bodu $B$ o úhel $\alpha = 50^{\circ}$ proti směru hodinových ručiček a získala bod $C'$. Poté narýsovala přímku $BC'$ a její průsečík s osou úsečky $BC$ označila jako bod $S$.
(5) Sestrojila množinu bodů $M$, ze kterých je úsečka $BC$ vidět pod úhlem $\alpha = 50^{\circ}$. Tato množina tvoří vnitřní body jistého oblouku kružnice se středem v bodě $S$ a poloměrem $|SB|$. Tvrdila, že bod $A$ leží na množině $M$.
(6) Našla průsečíky množiny $M$ a kružnice $k$, získala dva body a jeden z nich vybrala jako vrchol $A$.
(7) Dokončila konstrukci trojúhelníku $ABC$.
Udělala Pavla nějakou chybu? Pokud ano, urči kde.
Ano, Pavla udělala chybu ve kroku (2). Bod $S_a$ neleží na těžnici $t_a$ trojúhelníku $ABC$.
Ano, udělala chybu ve kroku (3). Bod $A$ neleží na kružnici $k$.
Ano, udělala chybu v kroku (5). Bod $A$ neleží v množině $M$.
Ano, Pavla udělala chybu v kroku (6). Není správné vybrat libovolný bod z průniku množiny $M$ s kružnicí $k$.
Ne, všechny kroky jsou správné.
Správný postup je následující (viz obrázek):
(1) Narýsuj úsečku $BC$ délky $6\,\mathrm{cm}$.
(2) Najdi střed $S_a$ úsečky $BC$.
(3) Sestroj kružnici $k$ se středem v bodě $S_a$ a poloměrem $t_a = 4\,\mathrm{cm}$.
(4) Otoč bod $C$ kolem bodu $B$ o úhel $\alpha = 50^{\circ}$ ve směru hodinových ručiček, čímž získáš bod $C'$. Poté narýsuj polopřímku $BC'$ a přímku $i$ kolmou na tuto polopřímku, která prochází bodem $B$. Nakonec označ průsečík přímky $i$ s osou úsečky $BC$ jako bod $S$.
(5) Sestroj množinu bodů $M$, ze kterých je úsečka $BC$ vidět pod úhlem $\alpha = 50^{\circ}$ (jedná se o vnitřní body oblouku kružnice se středem v bodě $S$ a poloměrem $|SB|$).
(6) Najdi průsečíky množiny $M$ a kružnice $k$ (jsou dva). Vyber jeden z těchto bodů a označ ho jako vrchol $A$.
(7) Sestroj trojúhelník $ABC$.
Využíváme skutečnost, že velikost středového úhlu je dvojnásobkem velikosti příslušného obvodového úhlu. Proto pokud má obvodový úhel velikost $50^{\circ}$, pak příslušný středový úhel musí mít velikost $100^{\circ}$.
Poznámka: V Pavlině nesprávné konstrukci by středový úhel měl velikost $80^{\circ}$, takže příslušný obvodový úhel by měl velikost $40^{\circ}$ (viz obrázek níže).
