Hana dostala úlohu zostrojiť rez kocky. Zadanie znie:
„Daná je kocka $ABCDEFGH$, kde bod $I$ je stred hrany $AD$, bod $J$ je stred hrany $FG$ a bod $K$ je stred hrany $GH$. Zostrojte rez kocky rovinou určenou bodmi $IJK$.“
Hana postupovala nasledovne (pozri obrázok nižšie):
(1) Narysovala úsečku $JK$ a tvrdila, že je jednou zo strán rezu.
(2) Zostrojila priamku $p$, ktorá prechádza bodom $I$ a je rovnobežná s úsečkou $JK$. Jej priesečník s hranou $AB$ označila ako bod $N$ a tvrdila, že úsečka $IN$ je ďalšia strana rezu.
(3) Našla priesečník hrán $EF$ a $DH$ a označila ho ako bod $L$.
(4) Narysovala úsečky $IL$ a $LK$ a tvrdila, že sú ďalšími stranami rezu.
(5) Narysovala priamku $q$, ktorá prechádza bodom $J$ a je rovnobežná s úsečkou $IL$. Jej priesečník s hranou $BF$ označila ako bod $M$ a tvrdila, že úsečka $JM$ je tiež stranou rezu.
(6) Označila šesťuholník $INMJKL$ ako hľadaný rez.
Našla Hana správny rez? Ak nie, určte kde sa vyskytla prvná chyba.
Ano. Našla správny rez.
Nie. Prvá chyba je v kroku (2). Úsečka $IN$ nie je stranou hľadaného rezu.
Nie. Prvá chyba je v kroku (3). Hrany $EF$ a $DH$ sa nepretínajú.
Nie. Prvá chyba je v kroku (4). Úsečka $IL$ je stranou rezu, ale úsečka $LK$ nie je.
Nie. Prvá chyba je v kroku (4). Úsečka $LK$ je stranou rezu, ale úsečka $IL$ nie je.
Nie. Prvá chyba je v kroku (5). Úsečka $JM$ nie je stranou hľadaného rezu.
Chyba je v kroku (3). Hrany $EF$ a $DH$ sa nepretínajú, pretože priamky $EF$ a $DH$ sú mimobežné.
Hana mohla správne postupovat napríklad takto (potri obrázok nižšie):
(1) Narysuj úsečku $JK$.
(2) Zostroj priamku $p$, ktorá prechádza bodom $I$ a je rovnobežná s úsečkou $JK$ a jej priesečník s hranou $AB$ označ ako bod $N$.
(3) Zostroj pomocný bod $L$ ako priesečník polpriamky $CB$ s priamkou $p$.
(4) Označ priesečník hrany $BF$ a úsečky $JL$ ako bod $M$.
(5) Zostroj priamku $r$, ktorá prechádza bodom $I$ a je rovnobežná s úsečkou $JM$ a jej priesečník s hranou $DH$ označ ako bod $O$.
(6) Označ šesťuholník $INMJKO$ ako hľadaný rez.
