Riešte nerovnicu: $$\mathrm{tg}\left(x-\frac{3\pi}{8}\right)>1\ \mbox{ pre }x\in\mathbb{R}$$ Michal vyriešil úlohu v nasledujúcich krokoch:
(1) Pomocou substitúcie $m=x-\frac{3\pi}{8}$, prepísal nerovnicu na tvar: $$\mathrm{tg}\, m>1$$ (2) Potom vyriešil rovnicu $\mathrm{tg}\, m=1$: $$m=\frac{\pi}{4}+k\cdot\pi,\ \mbox{ pre }k\in\mathbb{Z}$$ (3) Výsledok dosadil do substitúcie a vyjadril neznámu $x$, a získal riešenie rovnice $\mathrm{tg}\left(x-\frac{3\pi}{8}\right)=1$: $$x-\frac{3\pi}{8}=\frac{\pi}{4}+k\cdot\pi\Rightarrow x=\frac{5\pi}{8}+k\cdot\pi,\ \mbox{ pre }k\in\mathbb{Z}$$ (4) Potom určil body, v ktorých funkcia $\mathrm{tg}\left(x-\frac{3\pi}{8}\right)$ nie je definovaná: $$\bigcup_{k\in\mathbb{Z}}\left\{\frac{7\pi}{8}+k\cdot\pi\right\}$$ (5) Uvedomil si, že funkcia tangens je rastúca, takže hodnota funkcie $\mathrm{tg}\left(x-\frac{3\pi}{8}\right)$ bude väčšia než $1$, ak $x$ bude väčšie než $\frac{5\pi}{8}$. Spojením tohto výsledku s výsledkom získaným v kroku (4) dospel k záveru: $$\mathrm{tg}\left(x-\frac{3\pi}{8}\right)>1\Leftrightarrow x >\frac{5\pi}{8}\ \mbox{ a } x\neq\frac{7\pi}{8}+k\cdot\pi,\ \mbox{ pre }k\in\mathbb{Z}$$
Takže zistil, že riešením danej nerovnice je: $$K=\left(\frac{5\pi}{8};+\infty\right)\backslash\bigcup_{k\in\mathbb{Z}}\left\{\frac{7\pi}{8}+k\cdot \pi\right\}$$ Riešenie nie je správne. V ktorom kroku spravil Michal chybu?
Chyba je v kroku (1). V tomto prípade nie je vhodné použiť substitúciu.
Chyba je v kroku (2). Jedno riešenie rovnice $\mathrm{tg}\, m=1$ je $m=\frac{\pi}{4}$ a základná perióda funkcie $\mathrm{tg}(m)$ je $2\pi$. Všetky riešenia rovnice $\mathrm{tg}\, m=1$ teda sú: $$m=\frac{\pi}{4}+2\cdot k\cdot\pi,\ \mbox{ pre }k\in\mathbb{Z}$$
Chyba je v kroku (3). Neznáma $x$ nie je vyjadrená správne. Malo by byť: $$x=-\frac{\pi}{8}+k\cdot\pi,\ \mbox{ pre }k\in\mathbb{Z}$$
Chyba je v kroku (4). Funkcia nie je definovaná pre: $$\bigcup_{k\in\mathbb{Z}}\left\{\frac{3\pi}{8}+k\cdot\pi\right\}$$
Chyba je v kroku (5). Funkcia nie je rastúca na celom definičnom obore. Funkcia tangens je rastúca iba medzi každými dvoma susednými bodmi, v ktorých nie je definovaná.
Správne riešenie je nasledujúce. Funkcia nie je definovaná v bodoch:
$$\bigcup_{k\in\mathbb{Z}}\left\{\frac{7\pi}{8}+k\cdot\pi\right\}$$
Funkcia tangens je periodická a rastie iba medzi každými dvoma susednými bodmi, v ktorých nie je definovaná.. Preto:
$$\mathrm{tg}\left(x-\frac{3\pi}{8}\right)>1\Leftrightarrow x \in\left(\frac{5\pi}{8}+k\cdot\pi; \frac{7\pi}{8}+k\cdot\pi\right),\ \mbox{ pre } k\in\mathbb{Z}$$
Riešenie nerovnice $\mathrm{tg}\left(x-\frac{3\pi}{8}\right)>1$ môžeme zapísať:
$$K=\bigcup_{k\in\mathbb{Z}}\left(\frac{5\pi}{8}+k\cdot\pi; \frac{7\pi}{8}+k\cdot\pi\right)$$