$\sin ⁡x = \,?$

Alexander vedel, že: $$\mathrm{cotg} x=-\frac34\ \mbox{a zároveň}\ x\in\left(\frac32\pi,2\pi\right)$$ Snažil sa bez kalkulačky určiť $\sin ⁡x$.

Alexandrovo riešenie:

(1) Najprv vyjadril $\sin^2 x$ zo vzorca $\sin^2 x+\cos^2 x=1$ a získal: $$\sin^2 x=1-\cos^2 x$$

(2) Ďalej, keďže $x\neq k\pi$, kde $k\in\mathbb{Z}$, Alexander vydelil rovnicu výrazom $\sin^2 x$ a dostal: $$1=\frac{1}{\sin^2 x}-\mathrm{cotg}^2 x$$

(3) V ďalšom kroku vyjadril $\sin^2 x$ z rovnice: $$\sin^2 x=\frac{1}{1+\mathrm{cotg}^2 x}$$

(4) Následne dosadil danú hodnotu $\mathrm{cotg} x=-\frac34$: $$\sin^2 x=\frac{1}{1+\frac{9}{16}}$$

(5) Alexander zjednodušil zlomok na základný tvar: $$\sin^2 x=\frac{16}{25}$$

(6) Nakoniec odmocnil rovnicu a získal hľadanú hodnotu $\sin x$: $$\sin x=\frac45$$

Alexandrovi spolužiaci komentovali jeho riešenie:

a) Eva si myslí, že chyba je v kroku (3). Správna úprava by mala byť: $$\sin^2 x=1-\mathrm{cotg}^2 x$$

b) Marek povedal, že nesprávny je krok (4) . Správna hodnota $\sin^2 x$ by mala byť: $$\sin^2 x=\frac{1}{1-\frac{9}{16}}$$

c) Martina bola presvedčená, že chyba je v kroku (5). Správna úprava by mala byť: $$\sin^2 x=\frac85$$

d) Petra uviedla, že chybný je krok (6). Podľa nej má daný príklad dve riešenia a platí: $$\sin^2 x=\frac{16}{25}\Leftrightarrow|\sin x|=\frac45\Leftrightarrow\left(\sin x=\frac45 \lor \sin x=-\frac45\right)$$ Určte, kto mal pravdu.