Zuzka má $\mathbf{20}$ cukríkov: $\mathbf{12}$ s jahodovou príchuťou a $\mathbf{8}$ s citrónovou príchuťou. Tónovi dá $\mathbf{4}$ cukríky. Tóno je matematický nadšenec a počíta pravdepodobnosť, že pri náhodnom výbere 4 cukríkov dostane presne 2 jahodové a 2 citrónové cukríky.
(1) Najprv Tóno vypočítal, koľko rôznych výberov $4$ cukríkov možno urobiť z $20$. Ide o výber neusporiadaných štvoríc, ktorých je ${20\choose 4}=4\,845$.
(2) V ďalšom kroku vypočítal, koľko výberov $2$ jahodových cukríkov možno urobiť. Vyberá dvojice z $12$ jahodových cukríkov a takýchto dvojíc je ${12\choose 2}=66$.
(3) Ďalej Tóno vypočítal počet výberov $2$ citrónových cukríkov. Vyberá dvojice z celkového počtu $8$ citrónových cukríkov a takýchto dvojíc je ${8\choose 2}=28$.
(4) Tóno zistil, že môže vybrať $66$ dvojíc jahodových cukríkov a $28$ dvojíc citrónových cukríkov. Celkový počet rôznych štvoríc cukríkov obsahujúcich $2$ jahodové a $2$ citrónové cukríky je $66+28=94$.
(5) Pravdepodobnosť, že si zo všetkých cukríkov vyberie práve štvoricu s $2$ jahodovými a $2$ citrónovými cukríkmi, je teda $$\frac{94}{4\,845}\cong0{,}0194$$
Urobil Tóno vo svojej úvahe chybu? Ak áno, nájdi ju!
Tóno neurobil chybu. Úlohu vyriešil bezchybne ako pravý matematický nadšenec!
Chybu urobil hneď v kroku (1). Počet možných výberov cukríkov $4$ z $20$ mal byť vypočítaný ako usporiadaná štvorica, čo je $20\cdot19\cdot18\cdot17=116\, 280$. Preto pravdepodobnosť, že dostaneme presne $2$ citrónové a $2$ jahodové cukríky, je: $$\frac{94}{116\,280}\cong0{,}0008$$
Tóno urobil chybu aj v krokoch (2) a (3). Pri výbere dvojíc je dôležité poradie cukríkov. Počet dvojíc jahodových cukríkov by mal byť $12\cdot11=132$ a počet dvojíc citrónových cukríkov by mal byť $8\cdot7=56$. Správna pravdepodobnosť je: $$\frac{188}{4\,845}\cong0{,}0388$$
Tóno urobil chybu v kroku (4). Počet rôznych štvoríc cukríkov by mal byť $66\cdot28=1\,848$ a správna pravdepodobnosť je: $$\frac{1\,848}{4\,845}\cong0{,}3814$$