Zuzka má $\mathbf{20}$ bonbonů: $\mathbf{12}$ jahodových a $\mathbf{8}$ citronových. $\mathbf{4}$ bonbony dá Tondovi. Tonda, milovník matematiky, počítá pravděpodobnost, s jakou při náhodném výběru 4 bonbonů dostane právě 2 jahodové a 2 citronové bonbony.
(1) Nejprve Tonda spočítal, kolik může nastat různých výběrů $4$ bonbonů z $20$. Jde o výběr neuspořádaných čtveřic, kterých je ${20\choose 4}=4\,845$.
(2) V dalším kroku spočítal, kolik může nastat výběrů $2$ jahodových bonbonů. Vybírá dvojice z $12$ jahodových bonbonů. Takových dvojic je ${12\choose 2}=66$.
(3) Dále Tonda spočítal počet výběrů $2$ citronových bonbonů. Vybírá dvojice z celkem $8$ citronových bonbonů. Takových dvojic je ${8\choose 2}=28$.
(4) Tonda zjistil, že může vybrat $66$ dvojic jahodových bonbonů a $28$ dvojic citronových bonbonů. Celkový počet různých čtveřic bonbonů obsahující $2$ jahodové a $2$ citronové bonbony je $66+28=94$.
(5) Pravděpodobnost, že vybere ze všech bonbonů právě čtveřici se $2$ jahodovými a $2$ citronovými bonbony, je tedy $$\frac{94}{4\,845}\cong0{,}0194$$
Udělal ve svých úvahách Tonda chybu? Pokud ano, najděte ji!
Tonda neudělal chybu. Úlohu, jako správný milovník matematiky, vyřešil bez chyby na jedničku!
Tonda udělal chybu hned v kroku (1). Počet možných výběrů $4$ bonbonů z $20$ měl počítat jako uspořádanou čtveřici, tedy $20\cdot19\cdot18\cdot17=116\, 280$. Pravděpodobnost, že dostane právě $2$ citronové a $2$ jahodové bonbony, je: $$\frac{94}{116\,280}\cong0{,}0008$$.
Tonda udělal chybu v kroku (2) a (3). Při výběru dvojic záleží na pořadí bonbonů. Dvojic jahodových bonbonů bude $12\cdot11=132$, dvojic citronových bude $8\cdot7=56$. Hledaná pravděpodobnost je: $$\frac{188}{4\,845}\cong0{,}0388$$
Tonda udělal chybu v kroku (4). Různých čtveřic bonbonů je $66\cdot28=1\,848$, hledaná pravděpodobnost je: $$\frac{1\,848}{4\,845}\cong0{,}3814$$