Určte súčet všetkých čísel, pre ktoré nie je definovaný nasledujúci výraz: $$\left(\frac{x-2}{x^2-9}+1\right):\frac{1-x}{x+2} + \frac{5}{3x-x^2}$$ Kamila vyriešila úlohu v nasledujúcich krokoch:
(1) Pre výraz v zátvorkách napísala podmienku jeho existencie a určila, pre ktoré hodnoty $x$ tento výraz nie je definovaný: $$\begin{aligned}x^2 - 9\neq0 &\Rightarrow (x - 3)\cdot(x + 3)\neq0 \Rightarrow \cr&\Rightarrow(x - 3\neq0 \land x + 3 \neq 0)\Rightarrow \cr &\Rightarrow (x\neq3 \land x \neq -3)\end{aligned}$$ (2) Potom napísala podmienku, ktorá musí byť splnená, aby bol zlomok $\frac{1-x}{x+2}$ definovaný: $$x + 2\neq0 \Rightarrow x \neq -2$$
(3) Ďalej zapísala podmienku existencie zlomku $\frac{5}{3x-x^2}$ a určila, pre ktoré hodnoty $x$ tento zlomok nie je definovaný: $$\begin{aligned} 3x-x^2\neq0 &\Rightarrow x\cdot(3-x)\neq0 \Rightarrow\cr &\Rightarrow (x\neq0 \land 3 - x\neq 0)\Rightarrow\cr & \Rightarrow (x \neq0 \land x \neq 3)\end{aligned}$$ (4) Nakoniec Kamila tvrdila, že daný výraz nie je definovaný pre $$x\in\left\{-3;-2;0;3\right\}$$ a určila súčet týchto čísel: $(-3) + (-2) + 0 + 3 = -2$.
V Kamilinom riešení je chyba. Kde Kamila urobila vo svojom postupe chybu?
Chyba je v kroku (1). Kamila neurčila správne všetky podmienky pre výraz v zátvorkách.
Chyba je v kroku (2). Kamila neurčila správne všetky podmienky, ktoré musí zlomok $\frac{1-x}{x+2}$ spĺňať, aby bol definovaný.
Chyba je v kroku (3). Kamila neurčila správne všetky podmienky, ktoré musí zlomok $\frac{5}{3x-x^2}$ spĺňať, aby bol tento výraz definovaný.
Chyba je v kroku (4). Kamila urobila nesprávny záver, pretože vynechala jednu podmienku. Preto súčet čísel, pre ktoré daný výraz nie je definovaný, nie je určený správne.
Kamila si neuvedomila, že zlomok $\frac{1-x}{x+2}$ je tiež menovateľom vo výraze: $$\frac{\frac{x-2}{x^2-9}+1}{\frac{1-x}{x+2}}$$ To znamená, že aj zlomok $\frac{1-x}{x+2}$ musí spĺňať podmienku: $$\frac{1-x}{x+2}\neq 0 \Rightarrow 1 - x \neq 0 \Rightarrow x\neq1$$ Daný výraz nie je definovaný pre $$x\in\left\{-3;-2;0;1;3\right\}$$ a súčet týchto čísel je: $$(-3) + (-2) + 0 + 1 + 3 = -1.$$