Wyznacz sumę wszystkich liczb, dla których poniższe wyrażenie nie jest zdefiniowane. $$\left(\frac{x-2}{x^2-9}+1\right):\frac{1-x}{x+2} + \frac{5}{3x-x^2}$$ Camille rozwiązała zadanie w następujących krokach:
(1) Dla wyrażenia w nawiasie napisała warunek istnienia i określiła, dla jakich wartości $x$ wyrażenie to nie jest zdefiniowane: $$\begin{aligned}x^2 - 9\neq0 &\Rightarrow (x - 3)\cdot(x + 3)\neq0 \Rightarrow \cr&\Rightarrow(x - 3\neq0 \land x + 3 \neq 0)\Rightarrow \cr &\Rightarrow (x\neq3 \land x \neq -3)\end{aligned}$$ (2) Następnie napisała warunek, który musi być spełniony, aby ułamek $\frac{1-x}{x+2}$ był zdefiniowany: $$x + 2\neq0 \Rightarrow x \neq -2$$
(3) Ponadto Camille napisała warunek istnienia ułamka $\frac{5}{3x-x^2}$ i określiła, dla jakich wartości $x$ ułamek ten nie jest określony: $$\begin{aligned} 3x-x^2\neq0 &\Rightarrow x\cdot(3-x)\neq0 \Rightarrow\cr &\Rightarrow (x\neq0 \land 3 - x\neq 0)\Rightarrow\cr & \Rightarrow (x \neq0 \land x \neq 3)\end{aligned}$$ (4) Na koniec Camille stwierdziła, że podane wyrażenie nie jest zdefiniowane dla $$x\in\left\{-3;-2;0;3\right\}$$ i wyznaczyła sumę tych liczb: $(-3) + (-2) + 0 + 3 = -2$.
W rozwiązaniu Camille jest błąd. Gdzie Camille popełniła błąd w swojej procedurze?
Błąd występuje w kroku (1). Camille nie określiła poprawnie wszystkich warunków dla wyrażenia w nawiasie.
Błąd tkwi w kroku (2). Camille nie kreśliła poprawnie wszystkich warunków, aby ułamek $\frac{1-x}{x+2}$ był zdefiniowany.
Błąd znajduje się w kroku (3). Camille nie określiła poprawnie wszystkich warunków, które musi spełniać ułamek $\frac{5}{3x-x^2}$, aby podane wyrażenie było zdefiniowane.
Błąd jest w kroku (4). Camille wyciągnęła błędny wniosek, ponieważ pominęła jeden warunek, a zatem suma liczb, dla których podane wyrażenie nie jest zdefiniowane, nie jest określona poprawnie.
Camille nie zdawała sobie sprawy, że ułamek $\frac{1-x}{x+2}$ jest również mianownikiem w wyrażeniu: $$\frac{\frac{x-2}{x^2-9}+1}{\frac{1-x}{x+2}}$$ Oznacza to, że ułamek $\frac{1-x}{x+2}$ musi również spełniać warunek: $$\frac{1-x}{x+2}\neq 0 \Rightarrow 1 - x \neq 0 \Rightarrow x\neq1$$ Podane wyrażenie nie jest zdefiniowane dla $$x\in\left\{-3;-2;0;1;3\right\}$$ a suma tych liczb wynosi: $$(-3) + (-2) + 0 + 1 + 3 = -1.$$