Lisa mala zistiť počet deliteľov prirodzeného čísla $46\,200$. Úlohu vyriešila v nasledujúcich krokoch:
(1) Urobila rozklad na prvočísla.
$$46\,200=2\cdot2\cdot2\cdot3\cdot5\cdot5\cdot7\cdot11$$
(2) Výsledok vyjadrila pomocou mocnín.
$$46\,200=2^3\cdot3^1\cdot5^2\cdot7^1\cdot11^1$$
(3) Tvrdila, že počet deliteľov je súčet exponentov získaných po rozklade na prvočinitele, t. j. $8$. $$3+1+2+1+1=8$$
Je jej riešenie správne? Ak nie, určte nesprávny krok.
Áno. Celé riešenie je úplne v poriadku.
Nie, jej riešenie nie je správne. Chyba je v kroku (1). Rozklad na prvočinitele je:
$$46\, 200= 3^1\cdot7^1\cdot8^1\cdot11^1\cdot25^1$$ Počet jeho deliteľov je: $$1+1+1+1+1=5$$
Nie, jej riešenie nie je správne. Chyba je v kroku (3). Celkový počet deliteľov sa zistí tak, že sa ku každému exponentu pripočíta 1 a potom sa tieto čísla spočítajú. Počet deliteľov je teda:
$$4+2+3+2+2=13$$
Nie, jej riešenie nie je správne. Chyba je v kroku (3). Celkový počet deliteľov zistíme tak, že ku každému exponentu pripočítame $1$ a potom ich vynásobíme. Počet deliteľov je teda: $$4\cdot2\cdot3\cdot2\cdot2=96$$
Pre číslo, ktorého prvočíselný rozklad je $x^a\cdot y^b$, určíme celkový počet deliteľov tak, že ku každému exponentu pripočítame $1$ a potom ich vynásobíme. Tým vyjadríme vzorec pre počet deliteľov ako $(a + 1)\cdot(b + 1)$, kde $a$ a $b$ sú exponenty získané po prvočíselnom rozklade daného čísla.
Príklad: Číslo $12$ má prvočíselný rozklad $12 =2^2\cdot3^1$.
Počet jeho deliteľov je $(2 + 1)\cdot(1 + 1) = 6$.
Všetky delitele majú tvar $2^a\cdot3^b$, kde $0 \leq a \leq 2$, $0 \leq b \leq 1$.
Sú to $1 = 2^0\cdot3^0$, $2 = 2^1\cdot3^0$, $3 =2^0\cdot3^1$, $4 = 2^2\cdot3^0$, $6 = 2^1\cdot3^1$ a $12 = 2^2\cdot3^1$.
Správne riešenie: Číslo $46\, 200$ má prvočíselný rozklad $46\, 200=2^3\cdot3^1\cdot5^2\cdot7^1\cdot11^1$.
Počet jeho deliteľov je (3 + 1) ∙ (1 + 1) ∙ (2 + 1) ∙ (1 + 1) ∙ (1 + 1) = 96.