Lisa tenía que hallar el número de divisores del número natural $46\,200$.
Resolvió el problema mediante los siguientes pasos:
(1) Realizó la descomposición en factores primos.
$$46\,200=2\cdot2\cdot2\cdot3\cdot5\cdot5\cdot7\cdot11$$
(2) Expresó el resultado usando exponentes.
$$46\,200=2^3\cdot3^1\cdot5^2\cdot7^1\cdot11^1$$
(3) Afirmó que el número de sus divisores es la suma de los exponentes obtenidos tras la descomposición en factores primos, i.e., $8$. $$3+1+2+1+1=8$$
¿Es correcta su resolución? En caso negativo, identifica el paso erróneo.
Sí. Toda su resolución está perfecta.
No, su solución no es correcta. El error está en el paso (1). La descomposición en factores primos es:
$$46\, 200= 3^1\cdot7^1\cdot8^1\cdot11^1\cdot25^1$$ El número de sus divisores es: $$1+1+1+1+1=5$$
No, su solución no es correcta. El error está en el paso (3). El número total de factores se encuentra añadiendo $1$ a cada exponente y luego sumando todos juntos. Por tanto, el número total de divisores es:
$$4+2+3+2+2=13$$
No, su solución no es correcta. El error está en el paso (3). El número total de factores se encuentra añadiendo $1$ a cada exponente y luego multiplicando todos juntos. Por tanto, el número de divisores es: $$4\cdot2\cdot3\cdot2\cdot2=96$$
Para un número cuya factorización en primos es $x^a\cdot y^b$, determinamos el número total de factores añadiendo $1$ a cada exponente y luego multiplicando todos juntos. Esto expresa la fórmula del número de los factores como $(a + 1)\cdot(b + 1)$, donde $a$ y $b$ son los exponentes obtenidos tras la factorización en primos del número dado.
Por ejemplo:
El número $12$ tiene la descomposición en factores primos $12 =2^2\cdot3^1$.
El número de sus divisores es $(2 + 1)\cdot(1 + 1) = 6$.
Todos los divisores son de la forma $2^a\cdot3^b$, donde $0 \leq a \leq 2$, $0 \leq b \leq 1$.
Son $1 = 2^0\cdot3^0$, $2 = 2^1\cdot3^0$, $3 =2^0\cdot3^1$, $4 = 2^2\cdot3^0$, $6 = 2^1\cdot3^1$, y $12 = 2^2\cdot3^1$.
Resolución correcta:
El número $46\, 200$ tiene la descomposición en factores primos $46\, 200=2^3\cdot3^1\cdot5^2\cdot7^1\cdot11^1$.
El número de sus divisores es (3 + 1) ∙ (1 + 1) ∙ (2 + 1) ∙ (1 + 1) ∙ (1 + 1) = 96.