Lisa tenía que hallar el número de divisores del número natural $46\,200$.
Resolvió el problema mediante los siguientes pasos:
(1) Realizó la descomposición en factores primos.
$$46\,200=2\cdot2\cdot2\cdot3\cdot5\cdot5\cdot7\cdot11$$
(2) Expresó el resultado usando exponentes.
$$46\,200=2^3\cdot3^1\cdot5^2\cdot7^1\cdot11^1$$
(3) Afirmó que el número de sus divisores es la suma de los exponentes obtenidos tras la descomposición en factores primos, i.e., $8$. $$3+1+2+1+1=8$$
¿Es correcta su resolución? En caso negativo, identifica el paso erróneo e indica el motivo del error.
Sí. Toda su resolución está perfecta.
No, su solución no es correcta. El error está en el paso (1). La descomposición en factores primos es:
$$46\, 200= 3^1\cdot7^1\cdot8^1\cdot11^1\cdot25^1$$ El número de sus divisores es: $$1+1+1+1+1=5$$
No, su solución no es correcta. El error está en el paso (3). El número total de factores se encuentra añadiendo $1$ a cada exponente y luego sumando todos juntos. Por tanto, el número total de divisores es:
$$4+2+3+2+2=13$$
No, su solución no es correcta. El error está en el paso (3). El número total de factores se encuentra añadiendo $1$ a cada exponente y luego multiplicando todos juntos. Por tanto, el número de divisores es: $$4\cdot2\cdot3\cdot2\cdot2=96$$
Para un número cuya factorización en primos es $x^a\cdot y^b$, determinamos el número total de factores añadiendo $1$ a cada exponente y luego multiplicando todos juntos. Esto expresa la fórmula del número de los factores como $(a + 1)\cdot(b + 1)$, donde $a$ y $b$ son los exponentes obtenidos tras la factorización en primos del número dado.
Por ejemplo:
El número $12$ tiene la descomposición en factores primos $12 =2^2\cdot3^1$.
El número de sus divisores es $(2 + 1)\cdot(1 + 1) = 6$.
Todos los divisores son de la forma $2^a\cdot3^b$, donde $0 \leq a \leq 2$, $0 \leq b \leq 1$.
Son $1 = 2^0\cdot3^0$, $2 = 2^1\cdot3^0$, $3 =2^0\cdot3^1$, $4 = 2^2\cdot3^0$, $6 = 2^1\cdot3^1$, y $12 = 2^2\cdot3^1$.
Resolución correcta:
El número $46\, 200$ tiene la descomposición en factores primos $46\, 200=2^3\cdot3^1\cdot5^2\cdot7^1\cdot11^1$.
El número de sus divisores es (3 + 1) ∙ (1 + 1) ∙ (2 + 1) ∙ (1 + 1) ∙ (1 + 1) = 96.