$\log^2{⁡x}-2 \log{⁡x}=0$

Tri študentky, Jana, Dana a Alena, mali za úlohu vyriešiť nasledujúcu rovnicu pre $x \in \mathbb{R}$. $$\log^2{x}-2 \log{x}=0$$

Preskúmajte kroky, ktoré každá z nich urobila pri riešení rovnice, a určte, ktorá z nich postupovala správne.

Jana

(1) Určila podmienku pre logaritmus: $\log{x}$ $$ x>0 $$

(2) Vydelila rovnicu $\log^2{x}-2 \log{x}=0$ výrazom $\log{x}$: $$ \log{x}-2=0 $$

(3) Presunula $2$ na pravú stranu rovnice: $$ \log{x} = 2 $$

(4) Upravila podľa vzorca: $$ \log_a{x}=v \Leftrightarrow x=a^v $$ a získala riešenie: $$ x=10^2 $$

Alena

(1) Určila podmienku pre logaritmus: $\log{x}$ $$ x>0 $$

(2) Upravila rovnicu $\log^2{x}-2 \log{x}=0$ pomocou vlastností logaritmov na: $$ 2 \log{x}-2 \log{x}=0 $$ a dostala: $$0=0$$

(3) Z rovnice a podmienky logaritmu usúdila, že riešením je množina všetkých kladných reálnych čísel.

Dana

(1) Určila podmienku pre logaritmus: $\log{x}$ $$x>0$$

(2) Pre rovnicu $\log^2{x}-2 \log{x}=0$ zaviedla substitúciu: $$\log{x}=t$$

(3) Získala kvadratickú rovnicu: $$t^2-2t=0$$

(4) Vyriešila kvadratickú rovnicu: $$ \begin{gather} t^2-2t=0 \cr t(t-2)=0 \end{gather}$$ a získala korene: $$ t=0, ~t=2 $$

(5) Potom sa vrátila k substitúcii a našla korene $x$: $$ \begin{gather} t=0 \Rightarrow \log{x}=0 \Rightarrow x=1 \cr t=2 \Rightarrow \log{x}=2 \Rightarrow x=100 \end{gather} $$