Členy postupnosti

Anna, Kristína a Ulla vyriešili nasledujúce zadanie:

Postupnosť $(a_n )$ je pre každé $n\in \mathbb{N}$ daná vzorcom $a_n=\frac{5-3n}{7}$. Nájdite všetky hodnoty $x\in \mathbb{R}$ tak, aby $$ a_4,~x^2+2, ~a_{11}$$ boli tri po sebe nasledujúce členy geometrickej postupnosti a vypočítajte jej kvocient $q$.

Anna najprv vypočítala: $$ a_4=-1,~a_{11}=-4 $$ Podľa nej, ak čísla $a_4$, $x^2+2$, $a_{11}$ majú byť po sebe idúcimi členmi geometrickej postupnosti, potom $$ x^2+2=\frac{a_{11}}{a_4} $$ a teda $$ x^2+2=4 $$ Potom vyriešila uvedenú rovnicu a dostala: $$ x=\pm \sqrt{2} $$ Tri po sebe nasledujúce členy postupnosti sú $-1$, $4$, $-4$ a kvocient postupnosti $q=4$.

Kristína si spomenula, že ak uvažujeme tri po sebe idúce členy geometrickej postupnosti $a$, $b$, $c$, potom $$ \frac{b}{a}=\frac{c}{b} $$ a $$ b^2=ac $$ Vypočítala členy: $$ a_4=-1,~a_{11}=-4 $$ a postupovala takto: $$ \begin{gather} (x^2+2)^2=4 \cr |x^2+2|=2 \cr x^2+2=\pm2 \end{gather} $$ Riešením týchto dvoch rovníc dostala tri výsledky: $$ x=0,x=2,x=-2 $$ Pre $x=0$ sú tri po sebe nasledujúce členy $-1$, $2$, $-4$ a $q=-2$.

Pre $x=\pm 2$ sú tri po sebe nasledujúce členy $-1$, $4$, $-4$ a $q=4$.

Ulla si myslela, že pre stredný člen geometrickej postupnosti musí platiť: $$ x^2+2=\frac{a_4+a_{11}}{2} $$ Vypočítala: $$a_4=-1,~a_{11}=-4 $$ teda $$ \begin{gather} x^2+2=-\frac{5}{2} \cr x^2=-\frac{9}{2} \end{gather} $$ Odtiaľ dospela k záveru, že úloha nemá riešenie.

Ktorá z nich postupovala pri riešení správne?