Dané sú úsečka $AB$:
$$\left.\begin{aligned} x&= 7-3t\cr y&=-5+9t \end{aligned} \right\rbrace\ \mbox{pre } t\in\langle0;1\rangle$$ a polpriamka $KL$: $$\left.\begin{aligned} x&=1-2r\cr y&=3+r\cr \end{aligned}\right\rbrace\ \mbox{pre } r\in\langle0;\infty).$$
Určte ich prienik.
Karol vyriešil úlohu v nasledujúcich krokoch:
(1) Predpokladal, že prienikom je bod $P=[p_1; p_2]$. $$\begin{aligned}&P \in AB:\quad\begin{aligned} p_1&=7-3t\cr p_2&=-5+9t\end{aligned}\cr\cr &P\in\mapsto KL: \begin{aligned} p_1&=1-2r\cr p_2&=3+r \end{aligned}\end{aligned}$$
(2) Porovnávacou metódou zostavil sústavu rovníc: $$\begin{aligned} 7-3t&= 1-2r\cr -5+9t&= 3+r\end{aligned}$$
(3) Túto sústavu riešil dosadzovacou metódou. Najskôr vyjadril premennú $r$ z druhej rovnice: $r = 9t-8$
(4) Po dosadení premennej $r$ do prvej rovnice vyriešil rovnicu s premennou $t$:
$$\begin{alignat}2 7-3t&=1-2(9t-8)&&\cr 7-3t&=1-18t+16\quad&&\big/+ 18t-7\cr 15t &= 10\quad&&\big/ : 15\cr t &=\frac{10}{15}=\frac23 \end{alignat}$$
(5) Skontroloval, či parameter $t$ spĺňa podmienku a našiel priesečník. $$t\in \langle0;1\rangle \Rightarrow P=\left[7-3\cdot\frac23; -5+9\cdot\frac23\right]\Rightarrow P=[5; 1] $$
Je Karolove riešenie správne? Ak nie, tak určte, kde Karol urobil v postupe chybu.
Karolove riešenie je správne.
Chyba je v kroku (3). Karol nesprávne vyjadril neznámu $r$.
Chyba je v kroku (4). Karol nesprávne vyriešil rovnicu s premennou $t$, preto nesprávne určil aj hľadaný priesečník $P$.
Chyba je v kroku (5). Karol nevypočítal premennú $r$ a neskontroloval podmienky, ktoré by mala spĺňať.
Po výpočte premennej $r$ ($r = 9\cdot\frac23-8 = -2$), zistíme, že $r\notin \langle0;\infty)$, preto úsečka $AB$ a polpriamka $KL$ nemajú žiaden priesečník.