Členy postupnosti I

Pavol, Patrik a Ela mali vyriešiť tento príklad: Určte všetky hodnoty $m$, pre ktoré $\frac{m+1}{4}$, $\frac{m+3}{6}$, $\frac{m+9}{12}$ tvoria tri po sebe nasledujúce členy aritmetickej postupnosti.

Pavol vedel, že ak čísla $a$, $c$, $b$ tvoria po sebe idúce členy aritmetickej postupnosti, potom $$ c=\frac{a+b}{2}$$, a preto použil vzorec: $$ \frac{m+1}{4}+\frac{m+9}{12}=2\cdot \frac{m+3}{6}$$

Potom pokračoval takto: $$ \begin{gather} \frac{3m+3}{12}+\frac{m+9}{12}=\frac{m+3}{3} \cr \frac{4m+12}{12}=\frac{m+3}{3} \cr 4\frac{m+3}{3}=\frac{m+3}{3} \end{gather} $$ Nakoniec rovnicu zjednodušil vynásobením oboch strán číslom $\frac{3}{m+3}$ a dostal: $$ 4=1? $$ Nezabudol na podmienku, že $m\neq-3$. Pavol je teraz presvedčený, že tento príklad nemá riešenie pre $m\neq-3$ a že má riešenie pre $m=-3$. Skutočne $$ -\frac{1}{2},\ 0,\ \frac{1}{2}$$ tvoria tri po sebe idúce členy aritmetickej postupnosti s diferenciou $d=\frac{1}{2}$.

Patrik si zapamätal, že aritmetická postupnosť je postupnosť v tvare: $$ a,\ a+d,\ a+2d,\ldots $$ kde $a$ je prvý člen a $d$ je diferencia postupnosti. Príklad vyriešil týmto spôsobom: $$ \begin{gather} \frac{m+9}{12}-\frac{m+3}{6}=2\left(\frac{m+3}{6}-\frac{m+1}{4}\right) \cr \frac{m+9-2\left(m+3\right)}{12}=2\cdot \frac{2\left(m+3\right)-3\left(m+1\right)}{12} \cr \frac{3-m}{12}=\frac{3-m}{6} \cr m=3 \end{gather} $$ Pokiaľ ide o neho, dostaneme aritmetickú postupnosť, ak $m=3$. Skutočne $$ \frac{4}{4},\ \frac{6}{6},\ \frac{12}{12} $$ sú tri po sebe idúce členy aritmetickej postupnosti so spoločným rozdielom $d=0$.

Ela si myslela, že pre tri po sebe nasledujúci členy aritmetickej postupnosti musí platiť: $$ \frac{m+3}{6}\div\frac{m+1}{4}=\frac{m+9}{12}\div\frac{m+3}{6} $$ Potom pokračovala:
$$ \begin{gather} \frac{4(m+3)}{6(m+1)}=\frac{6(m+9)}{12(m+3)} \cr 48\left(m+3\right)^2=36(m+1)(m+9) \cr 4(m^2+6m+9)=\ 3(m^2+10m+9) \cr m^2-\ 6m+9=0 \cr \left(m-3\right)^2=0 \cr m=3 \cr \end{gather} $$ Ela dospela k záveru, že dané výrazy naozaj tvoria tri po sebe idúce členy aritmetickej postupnosti, ak $m=3$.

Ktorý z nich postupoval pri riešení správne?