Členy posloupnosti I

Pavel, Patrik, a Ela měli vyřešit tento příklad: Určete všechny hodnoty $m$, pro které výrazy $\frac{m+1}{4}$, $\frac{m+3}{6}$, $\frac{m+9}{12}$ tvoří tři po sobě jdoucí členy aritmetické posloupnosti.

Pavel věděl, že pokud čísla $a$, $c$, $b$ tvoří tři po sobě jdoucí členy aritmetické posloupnosti, pak pro ně platí $$ c=\frac{a+b}{2}. $$ A tak tento vztah použil: $$ \frac{m+1}{4}+\frac{m+9}{12}=2\cdot \frac{m+3}{6}. $$

Potom pokračoval takto: $$ \begin{gather} \frac{3m+3}{12}+\frac{m+9}{12}=\frac{m+3}{3} \cr \frac{4m+12}{12}=\frac{m+3}{3} \cr 4\frac{m+3}{3}=\frac{m+3}{3}. \end{gather} $$ Nakonec rovnici zjednodušil vynásobením obou stran výrazem $\frac{3}{m+3}$ a obdržel: $$ 4=1? $$ Nezapomněl ani na podmínku, že $m\neq-3$. Pavel je nyní přesvědčen, že příklad nemá řešeni pro $m\neq-3$ a že úloha má řešení pro $m=-3$. Skutečně $$ -\frac{1}{2},\ 0,\ \frac{1}{2} $$ tvoří tři po sobě jdoucí členy aritmetické posloupnosti s diferencí $d=\frac{1}{2}$.

Patrik si vzpomněl, že aritmetická posloupnost je posloupnost ve tvaru: $$ a,\ a+d,\ a+2d,\ldots $$ kde $a$ je její první člen a $d$ je diference této posloupnosti. Příklad vyřešil takto: $$ \begin{gather} \frac{m+9}{12}-\frac{m+3}{6}=2\left(\frac{m+3}{6}-\frac{m+1}{4}\right) \cr \frac{m+9-2\left(m+3\right)}{12}=2\cdot \frac{2\left(m+3\right)-3\left(m+1\right)}{12} \cr \frac{3-m}{12}=\frac{3-m}{6} \cr m=3. \end{gather} $$ Pokud jde o něj, dostaneme aritmetickou posloupnost pro $m=3$. Opravdu $$ \frac{4}{4},\ \frac{6}{6},\ \frac{12}{12} $$ jsou tři po sobě jdoucí členy aritmetické posloupnosti s diferencí $d=0$.

Ela si myslela, že pro tři po sobě jdoucí členy aritmetické posloupnosti musí platit: $$ \frac{m+3}{6}\div\frac{m+1}{4}=\frac{m+9}{12}\div\frac{m+3}{6}. $$ Potom pokračovala:
$$ \begin{gather} \frac{4(m+3)}{6(m+1)}=\frac{6(m+9)}{12(m+3)} \cr 48\left(m+3\right)^2=36(m+1)(m+9) \cr 4(m^2+6m+9)=\ 3(m^2+10m+9) \cr m^2-\ 6m+9=0 \cr \left(m-3\right)^2=0 \cr m=3. \cr \end{gather} $$ Ela došla k závěru, že dané výrazy tvoří tři po sobě jdoucí členy aritmetické posloupnosti pro $m=3$.

Který z nich postupoval při řešení správně?