V košíku sú 2 čokoládoví zajačikovia po 70 Kč, 3 čokoládové vajíčka po 50 Kč a 5 cukríkov po 30 Kč. Z košíka náhodne vyberieme tri predmety. Aká je pravdepodobnosť, že dostaneme sladkosti v hodnote 130 Kč?
Karolove riešenie:
(1) Tri sladkosti v hodnote 130 Kč môžeme získať len dvoma spôsobmi:
a. jeden zajačik a dva cukríky,
b. dve vajíčka a jeden cukrík.
(2) Zo všetkých 10 sladkostí v košíku vyberáme 3 predmety. Celkový počet takýchto možností je daný kombinačným číslom $K={10\choose3}=120$.
(3) Počet možností, ktoré obsahujú jedného zajačika a dva cukríky je $K_1=2\cdot{5\choose2}=20$.
(4) Počet možností, ktoré obsahujú dve vajíčka a jeden cukrík je $K_2={3\choose2}\cdot5=15$.
(5) Celkový počet priaznivých možností je teda $K_1\cdot K_2$. Pravdepodobnosť, že tri náhodne vybrané sladkosti budú stáť 130 Kč je $P=\frac{K_1\cdot K_2}{K}=\frac{300}{120}=2{,}5$.
Urobil Karol vo svojej úvahe chybu? Ak áno, určte, ako by mal vyzerať správny výsledok a kde sa stala chyba.
Chyba je v kroku (5). Celkový počet priaznivých možností je súčet $K_1+K_2$. Pravdepodobnosť, že tri náhodne vybrané sladkosti budú mať hodnotu 130 Kč je $P=\frac{K_1+K_2}{K}=\frac{35}{120}\cong 0{,}2917$.
Chyba je v kroku (2). Počet rôznych možností je menší, pretože v košíku sa opakujú tie isté sladkosti. Počet rôznych trojíc je $K=9$, z ktorých dve trojice spĺňajú dané kritériá (1a,1b). Výsledná pravdepodobnosť je $P=\frac29\cong0{,}2222$.
Chyba je v kroku (3). Karol nesprávne vypočítal počet možností $K_1$, v ktorých je jeden zajačik a dva cukríky. $K_1=1\cdot {7\choose2}=21$. Výsledná pravdepodobnosť je $P=2{,}6250$.
Chyba je v kroku (5). Súčin $K_1\cdot K_2$ treba vydeliť súčinom opakujúcich sa sladkostí. Výsledná pravdepodobnosť je $P=\frac{K_1\cdot K_2}{2\cdot 3\cdot5}\cdot\frac{1}{120}\cong0{,}0417$.
Riešenie je správne.